Amir Akbary, Department of Mathematics and Computer Science, University of Lethbridge, 4401 University Drive West, Lethbridge, Alberta T1K 3M4; email: amir.akbary@uleth.ca

Abstract/Résumé:

Let \(r\) be the order of vanishing of the automorphic \(L\)-function \(L(\pi,s)\) at \(s=1/2\). We study the non-vanishing of the derivative of order \(r+1\) of \(L(\pi,s)\) at \(s=1/2\).

Soit \(r\) l’ordre d’annulation de la fonction \(L\) automorphe \(L(\pi,s)\) à \(s=1/2\). Nous étudions la non-annulation de la dérivée d’ordre \(r+1\) de \(L(\pi,s)\) à \(s=1/2\).

Keywords: L-functions, non-vanishing of high derivatives of L-functions

AMS Subject Classification: Special values of automorphic $L$-series; periods of modular forms; cohomology; modular symbols 11F67

PDF(click to download): On $L^{(r+1)}(pi,1/2)$

Alain Togbe, Mathematics Department, Purdue University North Central, 1401 S, U.S. 421, Westville, IN 46391, USA; email: atogbe@pnc.edu

Abstract/Résumé:

In this paper, we completely solve the following family of diophantine equations associated with a family of cyclic quartic number fields: \( \Phi_n(x,y)=x^4 – n^2 x^3 y -(n^3+2n^2+4n+2) x^2 y^2 – n^2 x y^3 + y^4 = 1. \) There is no integral solution except for the trivial ones: \((1,0),\; (-1,0),\; (0,1),\; (0,-1).\) We extend a previous result obtained in 2000. In fact, the new result is achieved by sharpening the previous result, using another technique.

Dans cet article, nous résolvons complètement la famille suivante d’équations Diophantiennes associées à une famille de corps de nombres cycliques de degré \(4\): \( \Phi_n(x,y)=x^4 – n^2 x^3 y -(n^3+2n^2+4n+2) x^2 y^2 – n^2 x y^3 + y^4 = 1. \) Il n’existe aucune solution entière à l’exception des solutions triviales: \((1,0),\; (-1,0),\; (0,1),\; (0,-1).\) Nous prolongeons un résultat précédent obtenu en 2000. En réalité, nous utilisons une nouvelle technique pour améliorer le précédent resultat

Keywords: Baker’s method, parametric Thue equations

AMS Subject Classification: Thue-Mahler equations 11D59

PDF(click to download): On the solutions of a family of quartic Thue equations,~II

Zygfryd Kominek, Institute of Mathematics, Silesian University, Bankowa 14, PL-40-007 Katowice, Poland; email: zkominek@ux2.math.us.edu.pl

Jacek Mrowiec, Department of Mathematics, University of Bielsko-Biaala, Willowa 2, PL-43-309 Bielsko-Biaala, Poland; email: jmrowiec@ath.bielsko.pl

Abstract/Résumé:

We show that the inequality defining convex functions (convex in the sense of Wright) is not stable in infinitely-dimensional spaces. The inequality defining Jensen-convex functions is not stable either, even if its domain is a real interval.

Nous montrons que l’inégalité définissant des fonctions convexes (convexes dans le sens de Wright) n’est pas stable dans les espaces à dimension infinie. L’inégalité définissant des fonctions convexes dans le sens de Jensen n’est pas stable non plus, même si son domaine est une intervalle réelle.

Keywords:

AMS Subject Classification: 38B82

PDF(click to download): Nonstability results in the theory of convex functions

Emmanuel Knafo, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario M5S 2E4; email: knafo@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We give an effective lower bound for the variance of distribution of \(k\)-almost primes in arithmetic progressions. This lower bound approaches the expected asymptotic ‘exponentially fast’ as \(k\) goes to infinity.

Nous donnons une borne inférieure effective pour la variance de la distribution des nombres presque premiers d’ordre \(k\) dans les progressions arithmétiques. Cette borne inférieure s’approche de la valeur asymptotique attendue ‘exponentiellement vite’ quand \(k\) tend vers l’infini.

Keywords: almost primes, effective lower bound, generalized von Mangoldt function, truncated divisor sum

AMS Subject Classification: Distribution of integers with specified multiplicative constraints 11N25

PDF(click to download): Variance of Distribution of Almost Primes in Arithmetic Progressions

Michael A. Bennett, Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, BC V6T 1Z2; email: bennett@math.ubc.ca

Jamie Mulholland, Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, BC V6T 1Z2; email: jmulholl@math.ubc.ca

Abstract/Résumé:

We show, if \(p\) is prime, that the equation \(x^n+y^n=2pz^2\) has no solutions in coprime integers \(x\), \(y\) and \(z\) with \(|xy|>1\) and prime \(n>p^{27p^2}\), and, if \(p\ne7\), the equation \(x^n+y^n=pz^2\) has no solutions in coprime integers \(x\), \(y\) and \(z\) with \(|xy|>1\), \(z\) even and prime \(n>p^{3p^2}\).

Nous montrons que, si \(p\) est premier, l’équation \(x^n+y^n=2pz^2\) n’a pas de solution parmi les nombres entiers copremiers \(x\), \(y\), \(z\), avec \(|xy| > 1\) et \(n>p^{27p^2}\) premier. Nous montrons aussi que, si \(p\ne7\), l’équation \(x^n+y^n=pz^2\) n’a pas de solution parmi les nombres entiers copremiers \(x\), \(y\), \(z\), avec \(|xy| >1\), \(z\) pair, et \(n>p^{3p^2}\) premier.

Keywords:

AMS Subject Classification: Higher degree equations; Fermat's equation 11D41

PDF(click to download): On the diophantine equation $x^n+y^n=2^{alpha}pz^2$

Karol Baron, Instytut Matematyki, Uniwersytet Slaski, ul. Bankowa 14, PL–40–007 Katowice, Poland

Witold Jarczyk, Instytut Matematyki, Uniwersytet Slaski ul. Bankowa 14, PL–40–007 Katowice, Poland and Wydzia l Matematyki, Informatyki i Ekonometrii, Uniwersytet Zielonogorski, ul. Szafrana 4a, PL–65–516 Zielona Gora, Poland

Abstract/Résumé:

We show that any Lebesgue measurable function \(f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)\) satisfying \( f(x) = \int_0^{\infty} f(x+y) f(y) \,dy \) has the form \( f(x) = 2 \lambda e^{-\lambda x} \) with a \(\lambda \in [0,\infty)\).

Nous démontrons que toute fonction mesurable au sens de Lebesgue \(f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)\) satisfaisant à \( f(x) = \int_0^{\infty} f(x+y) f(y) \,dy \) est de la forme \( f(x) = 2 \lambda e^{-\lambda x} \) avec un \(\lambda \in [0,\infty)\).

Keywords: Lebesgue measurable and non-negative solution, convolution equation, integrated Cauchy equation, nonlinear integral equation

AMS Subject Classification: Other nonlinear integral equations 45G10

PDF(click to download): Non-negative solutions of a convolution equation

Simeon Reich, Department of Mathematics, The Technion–Israel Institute of Technology, 32000 Haifa, Israel; email: sreich@tx.technion.ac.il

Alexander J. Zaslavski, Department of Mathematics, The Technion–Israel Institute of Technology, 32000 Haifa, Israel; email: ajzasl@tx.technion.ac.il

Abstract/Résumé:

Let \(K\) be a bounded, closed and convex subset of a Banach space \(X\). We show that the iterates of a typical element (in the sense of Baire category) of a class of nonexpansive mappings which take \(K\) to \(X\) converge uniformly on \(K\) to the unique fixed point of this typical element.

Soit \(K\) un sous-ensemble borné, fermé et convexe d’un espace de Banach \(X\). Nous démontrons que les itérés d’un élément typique (au sens des catégories de Baire) d’une classe d’applications non-expansives de \(K\) dans \(X\) convergent uniformément sur \(K\) vers l’unique point fixe de cet élément typique.

Keywords: Banach space, approximate fixed point, complete metric space, fixed point, generic property, iteration, nonexpansive mapping, porous set, weakly inward

AMS Subject Classification: Nonexpansive mappings; and their generalizations (ultimately compact mappings; measures of noncompactness and condensing mappings; $A$-proper mappings; $K$-set contractions; etc.) 47H09

PDF(click to download): Convergence of iterates of typical nonexpansive mappings in Banach spaces

Steven J. Miller, Department of Mathematics, Brown University, 151 Thayer Street, Providence, Rhode Island 02912 USA; email: sjmiller@math.brown.edu

Abstract/Résumé:

Michel proved that for a one-parameter family of elliptic curves over \(\mathbb{Q}(T)\) with non-constant \(j(T)\) that the second moment of the number of solutions modulo \(p\) is \(p^2 + O(p^{3/2})\). We show this bound is sharp by studying \(y^2 = x^3 + Tx^2 + 1\). Lower order terms for such moments in a family are related to lower order terms in the \(n\)-level densities of Katz and Sarnak, which describe the behavior of the zeros near the central point of the associated \(L\)-functions. We conclude by investigating similar families and show how the lower order terms in the second moment may affect the expected bounds for the average rank of families in numerical investigations.

Michel a démontré que pour une famille de courbes élliptiques à un paramètre sur \(\mathbb{Q}(T)\) avec \(j(T)\) non-constant, le second moment du nombre de solutions modulo \(p\) est \(p^2 + O(p^{3/2})\). Nous montrons que cette limite est précise en étudiant \(y^2 = x^3 + Tx^2 + 1\). Pour de tels moments dans une famille, les termes d’ordre inférieur sont liés aux termes dans les \(n\)-niveaux de densité de Katz et Sarnak, qui decrivent le comportement des zéros près du point central des \(L\)-fonctions associées. Nous concluons en recherchant des familles semblables et en montrant comment les termes d’ordre inférieur dans le second moment peuvent affecter les bornes pour le rang moyen de familles dans des simulations numériques.

Keywords: Michel’s theorem, average rank, n-level densities, number of points on elliptic curves

AMS Subject Classification: Elliptic curves over global fields 11G05

PDF(click to download): Variation in the number of points on elliptic curves and applications to excess rank

Patrick Ingram, Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, V6T 1Z4; email: pingram@math.ubc.ca

Abstract/Résumé:

We call the integer \(N\) a \(k\)th-power numerical centre for \(n\) if \[1^k+2^k+\cdots+N^k = N^k+(N+1)^k+\cdots+n^k.\] We prove, using the explicit lower bounds on linear forms in elliptic logarithms, that there are no nontrivial fifth-power numerical centres for any \(n\), and demonstrate that there are only finitely many pairs \((N, n)\) satisfying the above for any given \(k>1\). The problem of finding \(k\)-th-power centres for \(k=1, 2, 3\) has been treated in .

On dit qu’un entier \(N\) est un centre numérique de puissance \(k\) pour \(n\) si \[1^k+2^k+\cdots+N^k=N^k+(N+1)^k+\cdots+n^k.\] En utilisant des minorations explicites de formes linéaires de logarithmes elliptiques, on démontre qu’il n’y a aucun centre numérique non trivial de puissance \(5\), et on montre qu’il y a qu’un nombre fini des paires \((N, n)\) qui satisfont l’équation précèdente pour \(k>1\). Le problème de trouver des centres de puissance \(k\) pour \(k=1, 2, 3\) est traité dans [7].

Keywords: house problem, linear forms in elliptic logarithms, numerical centres

AMS Subject Classification: Cubic and quartic equations 11D25

PDF(click to download): On $k$-th power numerical centres

Sebastian M. Cioaba, Department of Mathematics, University of California at San Diego, 9800 Gilman Drive, La Jolla, CA 92093-0112 U.S.A.

Abstract/Résumé:

In this note, we prove a sufficient condition for the existence of a perfect matching in a regular graph in terms of its eigenvalues and its expansion constant. We improve a recent result of Brouwer and Haemers.

Dans cette note, nous prouvons un état suffisant pour l’existence d’un assortiment parfait dans un graphe régulier en termes de ses valeurs propres et son constante d’expansion. Nous améliorons un résultat récent de Brouwer et Haemers.

Keywords: eigenvalues, expanders, matchings

AMS Subject Classification: Trees 05C05

PDF(click to download): Perfect matchings, eigenvalues and expansion

Hichem Ben-El Mechaiekh, Department of Mathematics, Brock University, St. Catharines, Ontario, L2S 3A1; email: hmechaie@brocku.ca

Abstract/Résumé:

We extend the Ky Fan fixed point theorem for a set-valued map with convex non-empty values and open fibers defined on a star-shaped compact subset in a topological vector space. The proof is elementary and based on a matching theorem of Ky Fan for open covers of convex sets.

Nous généralisons le théorème de point fixe de Ky Fan pour une application à valeurs d’ensembles convexes non-vides et à images inverses ouvertes définie sur un domaine compact et étoilé dans un espace vectoriel topologique. La preuve est élémentaire et se base sur un théorème de “matching” de Ky Fan pour les recouvrements ouverts d’ensembles convexes.

Keywords:

AMS Subject Classification: Fixed-point theorems 47H10

PDF(click to download): The Ky Fan fixed point theorem on star-shaped domains

Jean Vaillancourt, Rectorat, Universite du Quebec en Outaouais, 283, boulevard Alexandre-Tache, AT-E-2600, Hull, Quebec J8X 3X7; email: jean.vaillancourt@uqo.ca

Francois Watier, Departement de mathematiques, Universite du Quebec a Montreal, C.P. 8888, succ. Centre-Ville, Montreal, H3C 3P8; email: watier.francois@uqam.ca

Abstract/Résumé:

We offer a closed-form solution to an unconstrained multiperiod mean-variance problem when the investor’s portfolio consists of multiple stocks and bonds and where only fairly general conditions are imposed on these assets. As the reader will see, among the advantages of the proposed solution one finds that it is general enough to allow for the incorporation of time dependence in modelling the relative excess rate of return, as well as dependence, if one so wishes, on exogeneous variables, such as economic factors that might have the property to improve substantially our ability to assess future rate of return.

Nous proposons une solution fermée à un problème sans contraintes de moyenne-variance en contexte multipériodique lorsque le portefeuille de l’investisseur est constitué de plusieurs titres risqués et d’un titre sans risque et que des conditions plutôt générales sont imposées à ces titres. Comme le lecteur constatera, parmi les avantages de notre solution, c’est qu’elle est suffisament générale pour permettre une dépendance temporelle dans la modélisation du rendement excédentaire relatif ainsi qu’une dépendance avec des variables exogènes telles que des facteurs économiques qui bénéficieraient de la propriété d’améliorer la capacité d’estimation des rendements futurs.

Keywords:

AMS Subject Classification: Applications (signal detection; filtering; etc.) 60G35

PDF(click to download): On an optimal multivariate multiperiod mean-variance portfolio

Assi N'Guessan, Polytech’Lille and Laboratoire,Paul Painleve CNRS, UMR 8542, Universite de Lille 1, Bat. Polytech’Lille, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France; email: assi.nguessan@polytech-lille.fr

Francois Bellavance, HEC Montr ́eal and Laboratory, Transportation Safety Centre for Research on Transportation, Universite de Montreal, P.O. Box 6128, Succ. Centre-ville, Montreal, H3C 3J7francois.bellavance@hec.ca

Abstract/Résumé:

We present a method based on the Schur complement approach to build asymptotic confidence intervals linked to the maximum likelihood estimator of a vector of parameters under constraints. This approach makes it possible to obtain the formal expression of the standard error of each component of the vector without direct inversion of the Fisher information matrix. We then give an application of this method to the modelling and the confidence interval estimation of the average effect of a road safety measure and the accident risks of different types.

Nous proposons une méthode basée sur la technique du complément de Schur pour construire des intervalles de confiance asymptotiques relatifs à l’estimateur du maximum de vraisemblance d’un vecteur paramètre soumis à des contraintes. Cette méthode permet d’obtenir l’expression formelle de l’écart-type de chaque composante du vecteur sans inverser directement la matrice d’information de Fisher. Nous indiquons ensuite une application de cette méthodologie à la modélisation et à l’estimation par intervalle de confiance de l’effet moyen d’une mesure de sécurité routière et de différents risques d’accident.

Keywords: Fisher information matrix, Schur complement, accident data., accident risk, confidence interval, constrained maximum likelihood, formal asymptotic variance, logistic multinomial model, road safety measure

AMS Subject Classification: Matrix inversion; generalized inverses 15A09

PDF(click to download): A confidence interval estimation problem using the Schur complement approach with application

Wentang Kuo, Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematics, University of Waterloo, Waterloo, Ontario N2L 3G1; email: wtkuo@math.uwaterloo.ca

Abstract/Résumé:

The non-vanishing property of certain Dirichlet series is a fundamental problem in analytic number theory. In this paper, we provide a non-vanishing theorem, which is a generalization of Ogg’s result. We apply our theorem to get applications on distributions of eigenvalues of Hecke eigenforms and recover the non-vanishing theorem for the \(L\)-functions of cuspidal representations.

La propriété non nulle de certaines séries de Dirichlet est un problème fondamental dans la théorie analytique des nombres. Dans cet article, nous fournissons un théorème non-non-vanishing, qui est une généralisation du résultat d’Ogg. Nous appliquons notre théorème pour obtenir des applications sur des distributions des valeurs propres des opérateurs de Hecke et nous récupèrous théorème non nulle pour les \(L\)-fonctions des représentations cuspidales.

Keywords: L-functions, elliptic curves, non-vanishing.

AMS Subject Classification: Modular and automorphic functions 11F03

PDF(click to download): A non-vanishing theorem on Dirichlet series

Alexander J. Izzo, Department of Mathematics and Statistics, Bowling Green State, University, Bowling Green, OH 43403 USA; email: aizzo@math.bgsu.edu

Abstract/Résumé:

Let \(B\) be a uniformly closed algebra of functions on the unit circle \(\partial D\) between \(H^\infty\) and \(L^\infty\), and let \(C_B\) be the \(C^*\)-algebra generated by those Blaschke products that are invertible in \(B\). Let \(A\) be the algebra of bounded holomorphic functions on the open unit disc \(D\) whose boundary value functions are in \(C_B\). It is shown that if \(f\) is a bounded harmonic nonholomorphic function on \(D\) whose boundary value function is also in \(C_B\), then the uniformly closed algebra \(A[f]\) generated by \(A\) and \(f\) contains \(C(\overline D)\). This generalizes an earlier result of the author, which in turn contains as special cases a result on the disc algebra due to Čirca and a result on \(h^\infty (d)\) due to Axler and Shields.

Soit \(B\) une algèbre uniformément fermée de fonctions sur le cercle unité \(\partial D\) entre \(H^\infty\) et \(L^\infty\), et soit \(C_B\) la \(C^*\)-algèbre générée par les produits de Blaschke qui soient invertibles dans \(B\). Soit \(A\) l’algèbre des fonctions holomorphiques bornées sur le disque unité ouvert \(D\) dont les fonctions de valeur à la borne se trouvent dans \(C_B\). Il est démontré que, si \(f\) est une fonction non-holomorphique harmonique bornée sur \(D\) dont la fonction de valeur à la borne est aussi dans \(C_B\), alors l’algèbre uniformément fermeé \(A[f]\) générée par \(A\) et \(f\) renferme \(C(\overline D)\). Ceci généralise un résultat antérieur de l’auteur qui, à son tour, contient, en tant que cas particuliers, un résultat concernant l’algèbre disc dû à Čirca et un résultat sur \(h^\infty (d)\) dû à Axler et Shields.

Keywords:

AMS Subject Classification: Banach algebras of continuous functions; function algebras 46J10

PDF(click to download): Some algebras of bounded functions on the disc

Cristiana Bertolin, D-Math HG G 33.4, ETH-Zentrum, CH-8092 Z ̈urich, Switzerland; email: bertolin@math.ethz.ch

Abstract/Résumé:

Let \(S\) be a scheme and let \(G_i\) (for \(i = 1,2,3\)) be an extension of an abelian \(S\)-scheme \(A_i\) by a \(S\)-torus \(Y_i (1)\). The first result of this note is that the category of biextensions of \((G_1,G_2)\) by \(G_3\) is equivalent to the category of biextensions of the underlying abelian \(S\)-schemes \((A_1,A_2)\) by the underlying \(S\)-torus \(Y_3(1)\). Using this theorem we define the notion of biextension of \(1\)-motives by \(1\)-motives. If \({\mathcal{M}}(S)\) denotes the conjectural Tannakian category generated by \(1\)-motives over \(S\) (in a geometrical sense), as a candidate for the morphisms of \({\mathcal{M}}(S)\) from the tensor product of two \(1\)-motives \(M_1 \otimes M_2\) to another \(1\)-motive \(M_3\), we propose the isomorphism classes of biextensions of \((M_1,M_2)\) by \(M_3\). This definition is compatible with the realizations of \(1\)-motives. Moreover, generalizing this definition we obtain, modulo isogeny, the geometrical notion of morphism of \({\mathcal{M}}(S)\) from a finite tensor product of \(1\)-motives to another \(1\)-motive.

Soit \(S\) un schéma. On définit la notion de biextension de \(1\)-motifs par des \(1\)-motifs. De plus, si \({\mathcal{M}}(S)\) désigne la catégorie Tannakienne engendrée par les \(1\)-motifs sur \(S\) (en un sense géométrique), on définit les morphismes de \({\mathcal{M}}(S)\) du produit tensoriel de deux \(1\)-motifs \(M_1 \otimes M_2\) vers un \(1\)-motif \(M_3,\) comme étant la classe d’isomorphismes des biextensions \((M_1,M_2)\) par \(M_3\). En généralisant cette définition, on obtient, modulo isogénies, la notion de morphisme de \({\mathcal{M}}(S)\) d’un produit tensoriel fini de \(1\)-motifs vers un autre \(1\)-motif.

Keywords: 1-motives, biextensions, morphisms, tensor products

AMS Subject Classification: Epimorphisms; monomorphisms; special classes of morphisms; null morphisms 18A20

PDF(click to download): Biextensions and $1$-motives

Saralees Nadarajah, Department of Statistics, University of Nebraska, Lincoln, NE 68583 USA

Samuel Kotz, Department of Engineering Management and Systems Engineering, The George Washington University, Washington, DC 20052 USA

Abstract/Résumé:

A new bivariate beta distribution based on the Appell function of the first kind is introduced. Various representations are derived for its product moments, marginal densities, marginal moments, conditional densities and conditional moments.

Une nouvelle distribution beta conjointe pour deux variables basée sur la fonction de Appel du premier genre est présentée. Des représentations diverses sont développées pour calculer les moments de produit, de densités marginales, de moments marginaux, de densités conditionnelles ainsi que de moments conditionnels.

Keywords:

AMS Subject Classification: Applications 33C90

PDF(click to download): The bivariate $F_1$-beta distribution

D. Poulakis, Department of Mathematics, Aristotle University of Thessaloniki, University Campus, 541 24 Thessaloniki, Greece; email: poulakis@ccf.auth.gr

P.G. Walsh, Department of Mathematics, University of Ottawa. 585 King Edward St., Ottawa, Ontario K1N-6N5; email: gwalsh@mathstat.uottawa.ca

Abstract/Résumé:

Ljunggren proved that for a nonsquare positive integer \(d\), the quartic Diophantine equation \(X^2-dY^4=1\) has at most two solutions in positive integers, and gave precise information on the location of these solutions in the case that two such solutions actually do exist. Inspired by recent work of P. Samuel, we show that in the case that \(d>3\) is prime, there is at most one positive integer solution to \(X^2-dY^4=1\), and that it arises from the fundamental solution of the Pell equation \(X^2-dY^2=1\).

Ljunggren a montré que pour un nombre entier positif de nonsquare \(d\), l’équation \(X^2-dY^4=1\) a au plus deux solutions dans des nombres entiers positifs, et a fourni l’information précise sur l’endroit de ces solutions dans le cas que deux telles solutions réellement existent. Inspirer par les travaux récents de P. Samuel, nous montrons cela dans le cas que \(d>3\) est une nombre premier, il y a au plus une solution positive de nombre entier \(X^2-dY^4=1\), et qu’elle résulte de la solution fondamentale de l’équation de Pell \(X^2-dY^2=1\).

Keywords:

AMS Subject Classification: Higher degree equations; Fermat's equation 11D41

PDF(click to download): A note on the Diophantine equation $x^2-dy^4=1$ with prime discriminant

David Brink, Department of Mathematics, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen, Denmark; email: brink@math.ku.dk

Abstract/Résumé:

It is investigated when a cyclic \(p\)-class field of an imaginary quadratic number field can be embedded in an infinite pro-cyclic \(p\)-extension.

On donne des conditions pour qu’un \(p\)-corps de classes cyclique d’un corps de nombres quadratique imaginaire soit plongeable dans une \(p\)-extension pro-cyclique infinie.

Keywords:

AMS Subject Classification: Galois theory 11R32

PDF(click to download): On $mathbb{Z}_{p}$-embeddability of cyclic ${p}$-class fields

Thomas R. Hagedorn, Department of Mathematics and Statistics, The College of New Jersey, P.O. Box 7718, Ewing, NJ 08628-0718 USA; email: hagedorn@tcnj.edu

Abstract/Résumé:

Let \(S = \{a_i\}_{i=0}^\infty\) be a real linear recurrence of degree \(n\) with companion polynomial \(f_S(x)\). Let \(N_S\) be the zero-multiplicity for \(S\). Assume that the roots of \(f_S(x)\) are simple, real, and nondegenerate. When \(n=3\), Smiley and Picon showed \(N_S\leq 3\). When \(n=4\), we establish the sharp bound \(N_S\leq 5\). In general \(n\), we prove \(N_S \leq 2n-3\).

Soit \(S = \{a_i\}_{i=0}^{\infty}\) une suite définie par une relation de récurence linéaire réels de degré \(n\) avec polynôme charactéristique \(f_S (x)\). Désignons par \(N_S\) le zéro-multiplicité de \(S\). Supposons que les racines de \(f_S(x)\) soient simples, réelles, et non-dégénérées. Dans le cas \(n=3\), Smiley et Picon ont obtenu le resultat \(N_S \leq 3\). Dans le cas \(n=4\), nous démontrons la borne optimale \(N_S \leq 5\). Enfin nous démontrons que, étant donné un entier \(n\) quelconque, \(N_S \leq 2n-3\).

Keywords:

AMS Subject Classification: Recurrences 11B37

PDF(click to download): Zeros of a real linear recurrence of degree $ngeq 4$