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Banach-valued holomorphic functions on the maximal ideal space of $H^\infty$

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (4) 2011, pp. 97–106
Vol.33 (4) 2011
Alexander Brudnyi Details
(Received: 2011-03-17 )
(Received: 2011-03-17 )

Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, T2N 1N4; e-mail: albru@math.ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

We study Banach-valued holomorphic functions defined on open subsets of the maximal ideal space of the Banach algebra \(H^\infty\) of bounded holomorphic functions on the unit disk \(\mathbf{D}\subset\mathbf{C}\) with pointwise multiplication and supremum norm. In particular, we establish the vanishing of the cohomology of sheaves of germs of such functions and, solving a Banach-valued corona problem for \(H^\infty\), prove that the maximal ideal space of the algebra \(H_{\operatorname{comp}}^\infty (A)\) of holomorphic functions on \(\mathbf{D}\) with relatively compact images in a commutative unital complex Banach algebra \(A\) is homeomorphic to the direct product of maximal ideal spaces of \(H^\infty\) and \(A\). All proofs are presented in arXiv:1103.2347v1.

Nous étudions des fonctions holomorphes à valeurs dans un espace de Banach et définies sur des sous ensembles ouverts de l’espace idéal maximal de l’algèbre de Banach \(H^\infty\) des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité \(\mathbf{D}\subset\mathbf{C}\) munies de la multiplication ponctuelle et de la norme du supremum. En particulier, nous établissons que la cohomologie des faisceaux des germes de ces fonctions est nulle et, par le biais de la résolution d’un problème de type corona pour \(H^\infty\) à valeurs dans un espace de Banach, montrons que l’espace idéal maximal de l’algèbre \(H_{\operatorname{comp}}^\infty (A)\) des fonctions holomorphes sur \(\mathbf{D}\) et à image relativement compacte dans une algèbre complexe commutative unitale de Banach \(A\) est homéomorphe au produit direct des espaces idéaux maximaux de \(H^\infty\) et \(A\). Toutes les preuves sont présentées dans arXiv:1103.2347v1.

Keywords: $bar ∂$-equation, bounded holomorphic function, maximal ideal space, slice algebra

AMS Subject Classification: ${H]^p$-classes 30D55

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On Algebras of Holomorphic Functions with Semi-Almost Periodic Boundary values

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 1–12
Vol.32 (1) 2010
Alexander Brudnyi; Damir Kinzebulatov Details
(Received: 2009-08-17 )
(Received: 2009-08-17 )

Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta T2N 1N4; email: albru@math.ucalgary.ca

Damir Kinzebulatov, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario M5S 2E4; email: dkinz@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We study the algebras of bounded holomorphic functions on the unit disk whose boundary values, having, in a sense, the weakest possible discontinuities, belong to the algebra of semi-almost periodic functions on the unit circle. The latter algebra contains as a special case an algebra introduced by Sarason in connection with some problems in the theory of Toeplitz operators. We show that such algebras have the Grothendieck approximation property, prove the corona theorem for them and formulate some results on the structure of their maximal ideal spaces. Also, we extend the notion of the Bohr–Fourier spectrum to holomorphic semi-almost periodic functions and prove that under certain assumptions on their spectra the corresponding algebras are projective free and their maximal ideal spaces have trivial Čech cohomology groups.

On étudie les algèbres des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité dont les valeurs au bord ayant, dans us certain sens, des discontinuités les plus faibles possible, appartiennent á l’algèbre de fonctions semi-presque périodique sur le circle unité. Cette dernière contient, en particulier, une algèbre introduite par Sarason en relation avec certains problèmes de la théorie des opérateurs de Toeplitz. On montre que ces algèbres ont la propriéte d’approximation de Grothendieck; on prouve le theorème corona pour celles-ci et on formule quelques résultats sur la structure de leurs espaces idéaux maximaux. On étend aussi la notion du spectre de Bohr-Fourier à des fonctions holomorphiques semi-presques périodiques et on prouve que sous certaines hypothèses sur leur spectres, tout module projectif des algèbres correspondants est libre et leurs espaces idéaux maximaux ont des cohomologies triviales de Čech.

Keywords: approximation property, maximal ideal space, semi-almost periodic function

AMS Subject Classification: Spaces and algebras of analytic functions 30H05

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