Alexander Brudnyi,Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada T2N 1N4;
e-mail: abrudnyi@ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

The classical Grauert and Ramspott theorems constitute the foundation of the Oka principle on Stein spaces. In this paper we establish analogous results on the maximal ideal space \(M(H^\infty)\) of the Banach algebra \(H^\infty\) of bounded holomorphic functions on the open unit disk \({\mathbb D}\subset{\mathbb C}\). We illustrate our results by some examples and applications to the theory of operator-valued \(H^\infty\) functions.

Les théorèmes classiques de Grauert et Ramspott constituent la base du principe d’Oka par rapport aux espaces Stein. Dans cet article, nous démontrons des résultats analogues sur l’espace idéal maximal \(M(H^\infty)\) de l’algèbre de Banach \(H^\infty\) des fonctions holomorphes bornées sur une disque d’unité ouverte \({\mathbb D} \subset{\mathbb C}\). Nous présentons nos résultats avec des exemples et des applications à la théorie des fonctions \(H^\infty\) évaluées par l’opérateur.

Keywords: Grauert theorem, Oka principle, Ramspott theorem, maximal ideal space of $H^\infty$

AMS Subject Classification: Spaces and algebras of analytic functions, Holomorphic bundles and generalizations 30H05, 32L05

PDF(click to download): Grauert and Ramspott Type Theorems on the Maximal Ideal Space of ${mathbf H^infty}$

Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta T2N 1N4; email: albru@math.ucalgary.ca

Damir Kinzebulatov, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario M5S 2E4; email: dkinz@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

In this paper we introduce and study algebras of holomorphic almost periodic functions on regular coverings of Stein manifolds. These functions embrace two famous theories: Bohr’s holomorphic almost periodic functions on tube domains and von~Neumann’s almost periodic functions on groups. For such algebras we obtain results on approximation by analogs of exponential polynomials, on holomorphic extension from almost periodic complex submanifolds and describe the structure of their maximal ideal spaces.

Dans cet article on introduit et étudie des algèbres de fonctions holomorphes presque périodiques sur des revêtements reguliers des variétés de Stein. Ces fonctions unifient deux célèbres théories: les fonctions holomorphes presque périodiques sur des domaines tubulaires (d’après Bohr) et des fonctions presque périodiques sur des groupes (d’après von Neumann). Pour ces algèbres on obtient des résultats sur l’approxima\-tion par des analogues des polynômes exponentiels et sur le prolongement holomorphe des sous-variétés presque périodiques complexes. On décrit aussi la structure de leurs espaces des idéaux maximaux.

Keywords: Stein manifolds, almost periodic functions, holomorphic function algebras

AMS Subject Classification: Spaces and algebras of analytic functions 30H05

PDF(click to download): Holomorphic Almost Periodic Functions on Coverings of Stein Manifolds

Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta T2N 1N4; email: albru@math.ucalgary.ca

Damir Kinzebulatov, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario M5S 2E4; email: dkinz@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We study the algebras of bounded holomorphic functions on the unit disk whose boundary values, having, in a sense, the weakest possible discontinuities, belong to the algebra of semi-almost periodic functions on the unit circle. The latter algebra contains as a special case an algebra introduced by Sarason in connection with some problems in the theory of Toeplitz operators. We show that such algebras have the Grothendieck approximation property, prove the corona theorem for them and formulate some results on the structure of their maximal ideal spaces. Also, we extend the notion of the Bohr–Fourier spectrum to holomorphic semi-almost periodic functions and prove that under certain assumptions on their spectra the corresponding algebras are projective free and their maximal ideal spaces have trivial Čech cohomology groups.

On étudie les algèbres des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité dont les valeurs au bord ayant, dans us certain sens, des discontinuités les plus faibles possible, appartiennent á l’algèbre de fonctions semi-presque périodique sur le circle unité. Cette dernière contient, en particulier, une algèbre introduite par Sarason en relation avec certains problèmes de la théorie des opérateurs de Toeplitz. On montre que ces algèbres ont la propriéte d’approximation de Grothendieck; on prouve le theorème corona pour celles-ci et on formule quelques résultats sur la structure de leurs espaces idéaux maximaux. On étend aussi la notion du spectre de Bohr-Fourier à des fonctions holomorphiques semi-presques périodiques et on prouve que sous certaines hypothèses sur leur spectres, tout module projectif des algèbres correspondants est libre et leurs espaces idéaux maximaux ont des cohomologies triviales de Čech.

Keywords: approximation property, maximal ideal space, semi-almost periodic function

AMS Subject Classification: Spaces and algebras of analytic functions 30H05

PDF(click to download): On Algebras of Holomorphic Functions with Semi-Almost Periodic Boundary values