Ibrahim Al-Rasasi, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Department of Mathematics and Statistics PO Box 5046, Dhahran 31261, Saudi Arabia e-mail: irasasi@kfupm.edu.sa

Othman Echi, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Department of Mathematics and Statistics PO Box 5046, Dhahran 31261, Saudi Arabia e-mail: echi@kfupm.edu.sa; othechi@yahoo.com

Nejib Ghanmi, Umm Al-Qura University, University College in Makkah, Department of Mathematics, Azizia PO.Box 2064, Makkah, Kingdom of Saudi Arabia e-mail: naghanmi@uqu.edu.sa; neghanmi@yahoo.fr

Abstract/Résumé:

Let \(\alpha\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). A positive composite squarefree integer \(N\) is said to be an \(\alpha\)-Korselt number (\(K_{\alpha}\)-number, for short) if \(N\neq \alpha\) and \(p-\alpha\) divides \(N-\alpha\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). By the Korselt set of \(N\), we mean the set of all \(\alpha\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\) such that \(N\) is a \(K_{\alpha}\)-number. This set will be denoted by \(\mathcal{KS}(N)\).

In a recent paper , Bouallegue–Echi–Pinch have asked whether there are infinitely many squarefree composite numbers with empty Korselt set. This paper aims to solve this question by showing that for each prime number \(q\geq 19\), \(6q\) has an empty Korselt set.

We also show that for each integer \(l\geq 3\), there are infinitely many squarefree composite numbers with \(l\) prime divisors whose Korselt sets are empty.

Soit \(N\) un nombre composé sans facteur carré et \(\alpha\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). On dit que \(N\) est \(\alpha\)-Korselt si \(N\neq \alpha\) et \(p-\alpha\) divise \(N-\alpha\) pour tout facteur premier \(p\) de \(N\).

L’ensemble constitué de tous les \(\alpha\) tels que \(N\) est \(\alpha\)-Korselt, noté \(\mathcal{KS}(N)\), est appelé l’ensemble de Korselt de \(N\).

Bouallegue–Echi–Pinch se sont posés la question d’existence d’une infinité de nombres composés sans facteur carré possédant des ensembles de Korselt vides.

Dans ce papier on donne une réponse positive à cette question en démontrant que pour tout premier \(q\geq 19\), \(6q\) a un ensemble de Korselt vide.

On prouve aussi que pour tout entier \(l\geq 3\), il existe une infinité de nombres composés sans facteur carré ayant \(l\) facteurs premiers et d’ensembles de Korselt vides.

Keywords: Carmichael number, Korselt number, Korselt set, prime number, squarefree composite number

AMS Subject Classification: Algorithms; complexity 11Y16

PDF(click to download): On the Korselt Set of a Squarefree Composite Number

Othman Echi, Department of Mathematics, Faculty of Sciences of Tunis, University of Tunis-El Manar, Campus Universitaire, 2092 Tunis, Tunisia; e-mail: othechi@yahoo.com

Abstract/Résumé:

Let \(N\) be a composite squarefree number; \(N\) is said to be a Carmichael number if \(p-1\) divides \(N-1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). H. C. Williams has stated an interesting problem of whether there exists a Carmichael number \(N\) such that \(p+1\) divides \(N+1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). This is a long standing open question, and it is possible that there is no such number.

For a given nonzero integer \(a\), we call \(N\) an \(a\)-Korselt number if \(N\) is composite, squarefree and \(p-a\) divides \(N-a\) for all primes \(p\) dividing \(N\). We will say that \(N\) is an \(a\)-Williams number if \(N\) is both an \(a\)-Korselt number and a \((-a)\)-Korselt number.

Extending the problem of Willams, one may ask more generally if for a given nonzero integer \(a\), there is an \(a\)-Williams number. We give an affirmative answer to the question for \(a =3p\), where \(p\) is a prime number such that \(3p-2\) and \(3p+2\) are primes. We also prove that each \(a\)-Williams number has at least three prime factors.

Soit \(N\) un nombre composé et sans facteur carré; \(N\) est dit un nombre de Carmichael si \(p-1\) divise \(N-1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). H. C. Williams a posé un problème concernant l’existence d’un nombre de Carmichael \(N\) tel que \(p+1\) divise \(N+1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). C’est donc un ancient problème, et il se peut qu’il n’existe pas de tel nombre.

Pour un entier naturel non nul \(a\), on dit que \(N\) est un nombre \(a\)-Korselt si \(N\) est composé, sans facteur carré et \(p-a\) divise \(N-a\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). On dira que \(N\) est un nombre \(a\)-Williams si \(N\) est à la fois \(a\)-Korselt et \((-a)\)-Korselt.

On a, alors, le problème suivant: pour un entier naturel non nul \(a\), existe-t-il un nombre \(a\)-Williams? On donne une réponse affirmative à cette question, dans le cas où \(a =3p\), où \(p\) est un nombre premier tel que \(3p-2\) et \(3p+2\) sont premiers. On montre aussi que tout nombre \(a\)-Williams possède au moins \(3\) facteurs premiers.

Keywords: Carmichael number, prime number, squarefree composite number

AMS Subject Classification: Algorithms; complexity 11Y16

PDF(click to download): Williams Numbers