Andrew J. Dean, Department of Mathematical Sciences, Lakehead University, 955 Oliver Road, Thunder Bay, Ontario, Canada P7B 5E1; e-mail: ajdean@lakeheadu.ca

Sarah K. Lucky , Department of Mathematical Sciences, Lakehead University, 955 Oliver Road, Thunder Bay, Ontario, Canada P7B 5E1; e-mail: sklucky@lakeheadu.ca

Abstract/Résumé:

It is shown that if \(G\) is a lattice ordered countable group, then every action of \(({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\times ({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\) on \(G\) arises as an inductive limit of actions of \(({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\times ({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\) on simplicial groups. Some parts of the argument work in greater generality, and are proved for general finite abelian groups. A template is given for proving similar results for other such groups.

On montre que si \(G\) est un groupe dénombrable treillis-ordonné, alors toute action de \(({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\times ({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\) sur \(G\) provient d’une limite inductive d’actions de \(({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\times ({\Bbb Z}/2{\Bbb Z})\) sur des groupes simpliciaux. Des parties de cet argument fonctionnent dans une généralité plus grande et sont prouvées pour des groupes abéliens finis en général. Un modèle est donné pour prouver des résultats similaires pour d’autres groupes de ce type.

Keywords: Dimension groups, K-theory, classification

AMS Subject Classification: Classifications of $C^*$-algebras; factors, Noncommutative dynamical systems 46L35, 46L55

PDF(click to download): Actions of $({Bbb Z}/2{Bbb Z})times ({Bbb Z}/2{Bbb Z})$ on Lattice Ordered Dimension Groups

Bit Na Choi, Department of Mathematics and Statistics, University of New Hampshire, Durham, NH 03824, USA; e-mail: Bitna.Choi@unh.edu

Andrew J. Dean, Department of Mathematical Sciences, Lakehead University, Thunder Bay, ON, Canada P7B 5E1; e-mail: ajdean@lakeheadu.ca

Abstract/Résumé:

We show that a \(\mathbb{Z}_2\) action on a lattice-ordered dimension group will arise as an inductive limit of \(\mathbb{Z}_2\) actions on simplicial groups. The motivation for this study is the range of invariant problem in Elliott and Su’s classification of AF type \(\mathbb{Z}_2\) actions. We modify the proof of the Effros-Handelman-Shen theorem to include \(\mathbb{Z}_2\) actions.

Nous montrons qu’une action de \(\mathbb{Z}_2\) sur un groupe de dimension ordonné par treillis apparaît comme une limite inductive d’actions de \(\mathbb{Z}_2\) sur des groupes simpliciaux. La motivation de cette étude est le problème de la gamme de l’invariant dans la classification d’Elliott et de Su des actions de \(\mathbb{Z}_2\) de type AF. Nous modifions la preuve du théorème d’Effros-Handelman-Shen pour inclure les actions de \(\mathbb{Z}_2\).

Keywords: Dimension groups, K-theory, classification

AMS Subject Classification: Ordered abelian groups; Riesz groups; ordered linear spaces, $K_0$ as an ordered group; traces 06F20, 19K14

PDF(click to download): A Modification of the Effros-Handelman-Shen Theorem with ${Z}_2$ actions

Sandro Molina-Cabrera, Department of Mathematics, Rıo Piedras Campus, University of Puerto Rico, Box 23355, San Juan, Puerto Rico 00931-3355, USA; email: smolinacabrera@gmail.com

Abstract/Résumé:

We show that the \(K_0\)-group of an inductive limit of recursive subhomogeneous algebras with compact metrizable spaces of dimension at most one as local spectra is torsion free. This result implies that the \(K_0\)-group of a unital simple AH algebra which is the inductive limit of recursive subhomogeneous algebras, with compact metrizable spaces of dimension at most one as local spectra, is torsion free. This proves that Li’s reduction theorem for the dimension of the local spectra of unital simple AH algebras cannot be improved, in other words, that the dimension of the local spectra of unital simple AH algebras cannot be further reduced from two to one, even when we use subhomogeneous algebras. This also shows that if a reduction theorem for the dimension of the local spectra of simple inductive limits of recursive subhomogeneous algebras exists, then, after the reduction, the local spectra of the building blocks cannot always be one dimensional.

Nous démontrons que le \(K_0\)-groupe d’une limite inductive des algèbres sous-homogènes récursives, dont les spectres locaux consistent en des espaces compacts métrisables de dimension au plus un, n’a pas de torsion. Ce résultat implique que les \(K_0\)-groupes d’une algèbre AH simple et avec l’unité qui est la limite des algèbres sous-homogènes rećursives, dont les spectres locaux consistent en des espaces compacts métrisables de dimension au plus un, n’a pas de torsion. Cela prouve que le théorème de Li de la réduction pour la dimension des spectres locaux des algèbres AH simples et avec l’unité ne peut pas être améliorée, en d’autres termes, que la dimension des spectres locaux des algèbres AH simples et avec l’unité ne peut pas encore être réduit de deux à un, même quand on utilise des algèbres sous-homogènes. Cela montre aussi que si un théorème de réduction pour la dimension des spectres locaux d’une limite inductive simple des algèbres sous-homogènes récursives existe, alors, après la réduction, les spectres locaux des blocs de construction ne peuvent pas être toujours de dimension un.

Keywords: AH algebras, C*-algebra, K-theory, classification, recursive subhomogeneous algebras

AMS Subject Classification: K-theory and operator algebras -including cyclic theory 46L80

PDF(click to download): Torsion in the ${K_0}$-Group of a Recursive Subhomogeneous Algebra

Andrew J. Dean, Department of Mathematical Sciences, Lakehead University, 955 Oliver Road, Thunder Bay, Ontario, P7B 5E1; email: andrew.dean@lakeheadu.ca

Abstract/Résumé:

It is shown that two \(C^*\)-dynamical systems of the form \((K\otimes A, \mathbb{R}, \mathrm{Ad} U\otimes id)\), where \(U\) is a unitary representation of \(\mathbb{R}\) that decomposes as a finite direct sum of non-trivial irreducible representations whose multiplicities have greatest common denominator 1, and \(A\) is a simple, unital \(C^*\)-algebra with real rank zero and cancellation, are equivariantly isomorphic if, and only if, the two representations are unitarily equivalent. As a corollary, a classification result for certain inductive limit type actions of \(\mathbb{R}\) on stable UHF algebras is given.

Il est montré que deux systèmes \(C^*\)-dynamiques de la forme \((K\otimes A, \mathbb{R}, \mathrm{Ad} U\otimes id)\) où \(U\) est une representation unitaire de \(\mathbb{R}\), qui décompose comme une somme directe et finie des representations non-triviales et irréductibles dont les multiplicités ont 1 comme le dénominateur commun et le plus grand, et \(A\) est un \(C^*\)-algèbre simple, avec l’unité et avec rang réel zéro et annullation, sont isomorphe équivariantement si et seulement si les deux representations sont équivalentes unitairement. Comme un corollaire, un résultat classification pour quelques actions du type de la limite inductive de \(\mathbb{R}\) sur les algèbres d’UHF stables est aussi donné.

Keywords: C∗-dynamical system, classification

AMS Subject Classification: Derivations; dissipations and positive semigroups in $C^*$-algebras 46L57

PDF(click to download): A classification theorem for certain actions of $mathbb{R}$ on $C^*$-algebras