Manuel Mérida-Angulo,Ghent University, Department of Mathematics, Krijgslaan 281, S22 and S25, B-9000 Ghent, Belgium; e-mail: manmerang@gmail.com

Koen Thas,Ghent University, Department of Mathematics, Krijgslaan 281, S22 and S25, B-9000 Ghent, Belgium; e-mail: koen.thas@gmail.com

Abstract/Résumé:

We provide a coherent overview of a number of recent results obtained by the authors in the theory of schemes defined over the field with one element. Essentially, this theory encompasses the study of a functor which maps certain geometries including graphs to Deitmar constructible sets with additional structure, as such introducing a new zeta function for graphs. The functor is then used to determine the automorphism groups of the Deitmar constructible sets and their base extensions to fields.

Nous donnons une vue d’ensemble d’une nombre de résultats récents qui ont été obtenus par les auteurs dans le domaine de la théorie des schémas sur le corps à un élément. Principalement, cette théorie concerne l’étude d’un foncteur qui envoie certaines géométries (y compris les graphes) sur un ensemble constructible de Deitmar avec une structure additionnelle. De cette manière on introduit aussi une nouvelle fonction zeta pour les graphes. Le foncteur est ensuite utilisé pour déterminer les groupes d’automorphismes des ensembles constructibles de Deitmar et de ceux obtenus après une extension de base à d’autres corps.

Keywords: Deitmar scheme, Field with one element, Grothendieck ring, automorphism group, functoriality, loose graph, zeta function

AMS Subject Classification: Trees, , Varieties over finite and local fields, Grothendieck groups; $K$-theory, Schemes and morphisms, Generalizations (algebraic spaces; stacks), Zeta-functions and related questions(Birch-Swinnerton-Dyer conjecture), Finite ground fields 05C05, 05E40, 11G25, 13D15, 14A15, 14A20, 14G10, 14G15

PDF(click to download): The Structure of Deitmar Schemes, II. Zeta Functions and Automorphism Groups

Sebastian M. Cioaba, Department of Mathematics, University of California at San Diego, 9800 Gilman Drive, La Jolla, CA 92093-0112 U.S.A.

Abstract/Résumé:

In this note, we prove a sufficient condition for the existence of a perfect matching in a regular graph in terms of its eigenvalues and its expansion constant. We improve a recent result of Brouwer and Haemers.

Dans cette note, nous prouvons un état suffisant pour l’existence d’un assortiment parfait dans un graphe régulier en termes de ses valeurs propres et son constante d’expansion. Nous améliorons un résultat récent de Brouwer et Haemers.

Keywords: eigenvalues, expanders, matchings

AMS Subject Classification: Trees 05C05

PDF(click to download): Perfect matchings, eigenvalues and expansion