Igors Gorbovickis , Department of Mathematics, University of Toronto, Room 6290, 40 St. George Street, Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4; e-mail: igors.gorbovickis@utoronto.ca

Abstract/Résumé:

We present the following result: consider the space of complex polynomials of degree $n\ge 3$ with $n-1$ distinct marked periodic orbits of given periods. Then this space is irreducible and the multipliers of the marked periodic orbits, considered as algebraic functions on the above mentioned space, are algebraically independent over $\mathbb{C}$. Equivalently, this means that at its generic point, the moduli space of degree $n$ polynomial maps can be locally parameterized by the multipliers of $n-1$ arbitrary distinct periodic orbits. A detailed proof of this result (together with a proof of a more general statement) is given in [2]. In this exposition we substitute some of the technical lemmas from [2] with more geometric arguments.

On démontre le résultat suivant: considérons l’espace des polynômes complexes de degré $n\ge 3$ avec $n-1$ orbites périodiques distinctes marquées des périodes données. Alors cet espace est irréductible et considéré comme fonctions algébriques sur l’espace mentionné, les multiplicateurs des orbites périodiques marquées sont algébriquement indépendant sur $\mathbb{C}$. Ceci est équivalent á dire que á son point générique, l’espace module des applications polynomiales de degré $n$ peut être localement paramétrer par les multiplicateurs de $n-1$ orbites périodiques distinctes quelconques. Une démonstration de ce résultat (avec une preuve d’un énoncé plus général) est donnée en [2]. Dans cette exposition on remplace quelques lemmes techniques avec des arguments plus géométriques.

Keywords:

AMS Subject Classification: Polynomials; rational maps; entire and meromorphic functions 37F10

PDF(click to download): Parameterizing Degree $n$ Polynomials by Multipliers of Periodic Orbits

Alexander Brudnyi , Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, T2N 1N4; e-mail: albru@math.ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

We present a solution of the problem of characterization of the universal centers of a differential equation $v’=\sum_{j=1}^n a_j v^{j+1}$ with all $a_j$ real analytic in a neighbourhood of $[a,b]\Subset\mathbb{R}$ in terms of the vanishing of finitely many moments determined by $a_1, \ldots, a_n$.

On présente la solution du problème de caractériser les centres universels d’une équation différentielle $v’=\sum_{j=1}^n a_j v^{j+1}$ dont tous les coefficients sont des fonctions analytiques réelles autour de $[a,b]\Subset\mathbb{R}$ en utilisant les ensembles des zéros d’un nombre fini des moments calculés en partant des fonctions $a_1, \ldots, a_n$

Keywords: Lipschitz curve, Moment, center problem, homology, polynomial approximation, unicursal curve

AMS Subject Classification: Moment problems 44A60

PDF(click to download): On Characterization of Universal Centers of ODEs with Analytic Coefficients

Joachim Lambek, Department of Mathematics and Statistics, McGill University, Montreal, PQ Canada; e-mail: lambek@math.mcgill.ca

Abstract/Résumé:

This is a survey of some of the applications of quaternions to physics in the 20th century. In the first half century, an elegant presentation of Maxwell’s equations and special relativity was achieved with the help of biquaternions, that is, quaternions with complex coefficients. However, a quaternionic derivation of Dirac’s celebrated equation of the electron depended on the observation that all $4\times 4$ real matrices can be generated by quaternions and their duals.

On examine quelques applications des quaternions à la physique du vingtième siècle. La première moitiè du siècle avait vu une présen-tation élégante des équations de Maxwell et de la relativité spéciale par les quaternions avec des coefficients complexes. Cependant, une dérivation de l’équation célèbre de Dirac dépendait sur l’observation que toutes les matrices $4\times 4$ réelles peuvent être generées par les représentations régulières des quaternions.

Keywords: Classification of elementary particles, Quaternionic treatment of Dirac equation, Three temporal dimensions

AMS Subject Classification: 16A40

PDF(click to download): In Praise of Quaternions

Sadahiro Maeda, Department of Mathematics, Saga University, Saga, 840-8502, Japan; e-mail: smaeda@ms.saga- u.ac.jp

Abstract/Résumé:

We characterize geodesic spheres with sufficiently small radii in a complex hyperbolic space by using their geometric properties. These geodesic spheres are the only examples of hypersurfaces of type (A) having nonnegative sectional curvature in this ambient space.

Nous caractérisons les sphères géodésiques de rayon suffisamment petit dans un espace hyperbolique complexe en utilisant leurs propriétés géométriques. Ces sphères géodésiques sont les seuls exemples d’hypersurfaces de type (A) qui ont courbure non-negative dans cet espace ambiant.

Keywords: Geodesic spheres, circles, complex hyperbolic spaces, contact form, exterior differentiation, geodesics, hypersurfaces of type (A), sectional curvatures

AMS Subject Classification: Local submanifolds 53B25

PDF(click to download): Nonnegatively Curved Geodesic Spheres in a Complex Hyperbolic Space

R. Exel, Departamento de Matem ́atica, Universidade Federal de Santa Catarina, 88040-970 Florian ́opolis SC, Brazil; e-mail: exel@mtm.ufsc.br

Abstract/Résumé:

Given two algebras $A$ and $B$, sometimes assumed to be C\*-algebras, we consider the question of putting algebra or C\*-algebra structures on the tensor product $A\otimes B$. In the C\*-case, assuming $B$ to be two-dimensonal, we characterize all possible such C\*-algebra structures in terms of an action of the cyclic group ${\mathbb Z}_2$. An example related to commuting squares is also discussed.

Si $A$ et $B$ sont deux algèbres (resp. deux C\*-algèbres), nous étudions dans cette note les structures possibles d’algèbre (resp. de C\*-algèbre) qui peuvent être définies sur le produit tensoriel $A\otimes B$. Si $A$ est une C\*-algèbre, nous caractérisons toutes les structures de C\*-algèbre sur le produit tensoriel $A\otimes \mathbb{C}^2$ par une action du groupe cyclique $\mathbb{Z}_2$. Nous présentons aussi un exemple associé aux carrés commutatifs.

Keywords: Algebra, C*-algebra, Jones’ basic construction, algebra structure, alloy, blend, commuting square, conditional expectation, crossed product, index finite type, tensor product

AMS Subject Classification: None of the above; but in this section, 16S99, 46L04

PDF(click to download): Blends and Alloys

Jasbir S. Chahal,Department of Mathematics, Brigham Young University, Provo, UT 84602, USA; e-mail: jasbir@math.byu.edu

Josselin Kooij,University of Groningen, Department of Mathematics, P.O. Box 407, 9700 AK, Groningen, The Netherlands; e-mail: j.f.kooij@student.rug.nl

Jaap Top,University of Groningen, Department of Mathematics, P.O. Box 407, 9700 AK, Groningen, The Netherlands; e-mail: j.top@rug.nl

Abstract/Résumé:

In this note we present further number theoretic properties of the rational albime triangles, in particular, the distribution of acute vs. obtuse rational albime triangles. The notion of albime triangle is extended to include the case of external angle bisector. The proportion of internal vs. external rational albime triangles is also computed.

Dans cette note, nous présentons des propriétés supplémentaires (concernant la théorie des nombres) des triangles rationnels ‘albimes’; en particulier, la distribution des triangles rationnels albimes aigus contre obtus. La notion de triangle albime est développé pour comprendre le cas d’extérieur bissectrice. On calcule aussi la proportion des triangles rationnels albimes internes contre externes.

Keywords: Ceva's theorem, elliptic curves, primitive albime triplets, rational albime triangles

AMS Subject Classification: Elliptic curves over global fields, Miscellaneous applications of number theory 11G05, 11Z05

PDF(click to download): Further Remarks on Rational Albime Triangles

Jan Cameron, Department of Mathematics, Vassar College, Poughkeepsie, NY 12604, USA; e-mail: jacameron@vassar.edu

Abstract/Résumé:

In this note we show that Kadison’s similarity problem for $C^*$-algebras is equivalent to a problem in perturbation theory: must close $C^*$-algebras have close commutants?

Dans cette note, nous montrons que le problème de similarité de Kadison est équivalent à la question suivante en théorie de la perturbation: les commutants de deux $C^*$-algèbres proches sont-ils nécessairement proches?

Keywords:

AMS Subject Classification: General theory of $C^*$-algebras 46L05

PDF(click to download): A Remark on the Similarity and Perturbation Problems

Anamaria Savu, Canadian Vigour Center, 2-132 Li Ka-Shing Center for Health Research Innovation, University of Alberta, Edmonton AB, Canada T6G 2E1; e-mail: savu@ualberta.ca

Abstract/Résumé:

We consider sequences of systems of first-order linear partial differential equation with constant coefficients. As the index $N$ of the sequence increases, the dimension of the integration space of the $N^{th}$ system increases to infinity. Even though the coefficient matrices of the systems have different dimensions, the matrices originate from a common generating process that is specified by a finite sequence of real numbers or a polynomial. We establish results on the limiting behaviour of the $L^2$ norms of solutions of the systems as $N$ grows to infinity, specifically we find asymptotic dominating powers of $N$ for the $L^2$ norms. We show that the exponents of $N$ depend on the maximal order of the complex unit roots of the generating polynomial. Our results are generalizations of some inequalities shown by Varadhan in his work on the hydrodynamic scaling limit of a non-gradient particle system with continuous spin and nearest-neighbour interaction. Our results could prove relevant for the derivation of hydrodynamic limits of other particle systems with complex interactions and non-Gaussian equilibrium measures.

Nous considérons des séquences de systèmes d’équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre à coefficients constants. Lorsque l’indice $N$ de la séquence s’accroît, la dimension de l’espace\breakd’intégration du $N$-ième système s’approche de l’infini. Même si les matrices de coefficients des systèmes ont des dimensions différentes, les matrices proviennent d’un processus de génération qui est spécifié par une séquence finie de nombres réels ou un polynôme. Nous montrons des résultats sur le comportement asymptotique pour les normes $L^2$ des solutions des systèmes quand $N$ s’approche de l’infini, spécifiquement nous trouvons des puissances de $N$ qui dominent asymptotiquement les normes $L^2$. Nous montrons que les exposants de $N$ dépendent de l’ordre maximal des racines complexes unités du polynôme génératrice. Nos résultats sont des généralisations des certaines inégalités montrées par Varadhan dans son travail sur la limite hydrodynamique d’une système de particules avec spin continu et évoluant selon une dynamique de Kawasaki non-gradient. Nos résultats pourraient se révéler pertinents pour le calcul des limites hydrodynamiques d’autres systèmes de particules avec des interactions complexes et des mesures d’équilibre non-gaussiennes.

Keywords: Bakry-Emery Inequalities, Ergodic Theorem, Non-gradient Interacting Particle Systems, Toeplitz matrices

AMS Subject Classification: Distributions 60E05

PDF(click to download): Systems of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients: Bounds on Solutions

Ilijas Farah, Department of Mathematics and Statistics, York University, 4700 Keele Street, North York, Ontario, Canada M3J 1P3, and Matematicki Institut, Kneza Mihaila 34, Belgrade, Serbia; e-mail: ifarah@mathstat.yorku.ca URL: http://www.math.yorku.ca/∼ifarah

Abstract/Résumé:

We present unified proofs of several properties of the corona of $\sigma\$-unital C*-algebras such as AA-CRISP, SAW*, being sub-$\sigma\$-Stonean in the sense of Kirchberg, and the conclusion of Kasparov’s Technical Theorem. Although our results were obtained by considering C*-algebras as models of the logic for metric structures, the reader is not required to have any knowledge of model theory of metric structures (or model theory, or logic in general). The proofs involve analysis of the extent of model-theoretic saturation of corona algebras.

Nous présentons des démonstrations unifiées de plusieurs propriétés de la corona des C*-algèbres $\sigma\$-unitales tel qu’AA-CRISP, SAW*, étant sous-$\sigma\$-Stonean au sens de Kirchberg, et la conclusion du théorème technique de Kasparov. Bien que nos résultats aient été obtenus en considérant les C*-algèbres comme modèles de la logique pour les structures métriques, le lecteur n’est pas requis d’avoir aucune connaissance de la théorie des modèles des structures métriques (ou la théorie des modèles, ou de la logique en général). Les démonstrations impliquent l’analyse de l’ampleur de la saturation modèle-théorétique des algèbres de corona.

Keywords:

AMS Subject Classification: General theory of $C^*$-algebras 46L05

PDF(click to download): Countable Saturation of Corona Algebras

Leonel Robert, Department of Mathematics, University of Louisiana at Lafayette, Lafayette, USA; e-mail: lrobert@louisiana.edu

Abstract/Résumé:

It is shown that the Cuntz semigroup of a space with dimension at most two, and with second cohomology of its compact subsets equal to zero, is isomorphic to the ordered semigroup of lower semicontinuous functions on the space with values in the natural numbers with the infinity adjoined. This computation is then used to obtain the Cuntz semigroup of all compact surfaces. A converse to the first computation is also proven: if the Cuntz semigroup of a separable C*-algebra is isomorphic

Il est montré que le semi-groupe de Cuntz d’un espace de dimension au plus deux, et avec cohomologie deuxième de ses sous-ensembles compacts égales à zéro, est isomorphe au semi-groupe ordonné de fonctions semi-continue inférieurement sur l’espace de baisse avec des valeurs au entiers naturels augmentée à l’infini. Ce calcul est ensuite utilisé pour obtenir le semi-groupe de Cuntz de toutes les surfaces compacts. Un inverse du premier calcul est également prouvé: si le semi-groupe de Cuntz d’un C*-algèbre séparable est isomorphe aux fonctions semi-continue inférieurement de une space topoligique à valeurs dans les entiers naturels augmentée, alors la C*-algébre est commutative à stabilisation près, et son spectrum satisfait aux conditions dimensionnelles et cohomologique mentionné ci-dessus.

Keywords: Cuntz Semigroup

AMS Subject Classification: $C^*$-modules 46L08

PDF(click to download): The Cuntz Semigroup of Some Spaces of Dimension at Most Two

Yuri Burda, University of Toronto; e-mail: yburda@math.toronto.edu

Liudmyla Kadets, University of Toronto; e-mail: lucy.kadets@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

In this note we present a construction of a regular 17-gon using ruler and compass. We relate steps in this construction to quadratic reciprocity and some trigonometric identities.

Dans cette note, nous présentons une construction à la règle et au compas de l’heptadécagone. Nous éstablisson des liens les étapes de cette construction de réciprocité quadratique et des identitiés trigono–métriques.

Keywords: Heptadecagon, Quadratic Reciprocity

AMS Subject Classification: 11A20

PDF(click to download): Construction of the Heptadecagon and Quadratic Reciprocity

Ibrahim Al-Rasasi, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Department of Mathematics and Statistics PO Box 5046, Dhahran 31261, Saudi Arabia e-mail: irasasi@kfupm.edu.sa

Othman Echi, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Department of Mathematics and Statistics PO Box 5046, Dhahran 31261, Saudi Arabia e-mail: echi@kfupm.edu.sa; othechi@yahoo.com

Nejib Ghanmi, Umm Al-Qura University, University College in Makkah, Department of Mathematics, Azizia PO.Box 2064, Makkah, Kingdom of Saudi Arabia e-mail: naghanmi@uqu.edu.sa; neghanmi@yahoo.fr

Abstract/Résumé:

Let \(\alpha\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\). A positive composite squarefree integer \(N\) is said to be an \(\alpha\)-Korselt number (\(K_{\alpha}\)-number, for short) if \(N\neq \alpha\) and \(p-\alpha\) divides \(N-\alpha\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). By the Korselt set of \(N\), we mean the set of all \(\alpha\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\) such that \(N\) is a \(K_{\alpha}\)-number. This set will be denoted by \(\mathcal{KS}(N)\).

In a recent paper , Bouallegue–Echi–Pinch have asked whether there are infinitely many squarefree composite numbers with empty Korselt set. This paper aims to solve this question by showing that for each prime number \(q\geq 19\), \(6q\) has an empty Korselt set.

We also show that for each integer \(l\geq 3\), there are infinitely many squarefree composite numbers with \(l\) prime divisors whose Korselt sets are empty.

Soit \(N\) un nombre composé sans facteur carré et \(\alpha\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). On dit que \(N\) est \(\alpha\)-Korselt si \(N\neq \alpha\) et \(p-\alpha\) divise \(N-\alpha\) pour tout facteur premier \(p\) de \(N\).

L’ensemble constitué de tous les \(\alpha\) tels que \(N\) est \(\alpha\)-Korselt, noté \(\mathcal{KS}(N)\), est appelé l’ensemble de Korselt de \(N\).

Bouallegue–Echi–Pinch se sont posés la question d’existence d’une infinité de nombres composés sans facteur carré possédant des ensembles de Korselt vides.

Dans ce papier on donne une réponse positive à cette question en démontrant que pour tout premier \(q\geq 19\), \(6q\) a un ensemble de Korselt vide.

On prouve aussi que pour tout entier \(l\geq 3\), il existe une infinité de nombres composés sans facteur carré ayant \(l\) facteurs premiers et d’ensembles de Korselt vides.

Keywords: Carmichael number, Korselt number, Korselt set, prime number, squarefree composite number

AMS Subject Classification: Algorithms; complexity 11Y16

PDF(click to download): On the Korselt Set of a Squarefree Composite Number

Pinaki Mondal, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON M5S 2E4; e-mail: pinaki@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

This article is mainly an announcement of some of the results from the article General Bezout-type theorems. We set up a framework for Bezout-type theorems for general affine varieties and apply it to study the “Bezout problem” on the affine plane. In particular, for a class of compactifications of the affine plane we compute the intersection numbers of the curves at infinity in terms of valuations at infinity, and generalize the Bernstein–Kushnirenko non-degeneracy criterion to the case of weighted degrees in possibly different systems of coordinates.

Cet article est principalement une annonce de quelques-uns des résultats de l’article General Bezout-type theorems. Nous construisons un système pour les théorèmes de type Bezout pour les variétés affines générales, et nous l’appliquons pour étudier le “Bezout problème” sur le plan affine. En particulier, pour une classe de compactifications du plan affine, nous calculons le nombre d’intersections des, courbes à l’infini en termes de valorisations à l’infini, et nous généralisons le critère de non-dégénérescence de Bernstein–Kushnirenko au cas de degrés pondérés dans les systèmes peut-être différents de coordonnées.

Keywords: Bezout theorem, affine plane, compactification, intersection theory, semidegrees

AMS Subject Classification: Intersection theory; characteristic classes; intersection multiplicities 14C17

PDF(click to download): Bezout-type Theorems for the Affine Plane

Yoshinori Hamahata, Institute for Teaching and Learning, Ritsumeikan University, 1-1-1 Noji-higashi, Kusatsu, Shiga 525-8577, Japan; e-mail: hamahata@fc.ritsumei.ac.jp

Abstract/Résumé:

In Higher dimensional Dedekind sums in finite fields. Finite Fields Appl. 18 (2012), 19–25, we introduced the Dedekind–Zagier sum in finite fields. It is defined by a lattice $\Lambda$. The objective of this paper is to present a criterion for the rationality of our Dedekind–Zagier sum. For this purpose, we establish a connection between the field of definition of the exponential function for $\Lambda$ and the field of definition of the Dedekind–Zagier sum for $\Lambda$.

Dans Higher dimensional Dedekind sums in finite fields. Finite Fields Appl. 18 (2012), 19–25, nous avons introduit la somme de Dedekind–Zagier dans des corps finis. La somme est définie à partir d’un réseau $\Lambda$. L’objectif de ce travail est de présenter un critère de la rationalité de notre somme de Dedekind–Zagier. Pour le but, nous éstablissons la connexion entre le corps de définition de la fonction exponentielle pour $\Lambda$ et le corps de définition de notre somme de Dedekind–Zagier pour $\Lambda$.

Keywords: Dedekind sums, finite fields, lattices

AMS Subject Classification: Dedekind eta function; Dedekind sums 11F20

PDF(click to download): Rationality of Dedekind Sums in Finite Fields

Yuri Burda , Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON; e-mail: yburda@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

In this note we give an answer to a question about mixed volumes asked by Gromov in “Convex Sets and Kahler Manifolds”. For the reader’s convenience we recall the definitions and some of the properties of mixed volumes and mixed discriminants.

Dans cette note, nous donnions une réponse à une question sur les volumes mixtes posées par M. Gromov dans “Convex Sets and Kahler Manifolds”. Pour la commodité du lecteur, nous rappelons les définitions et certaines des propriétés de volumes mixtes et discriminants mixte.

Keywords:

AMS Subject Classification: Mixed volumes and related topics 52A39

PDF(click to download): On a Problem of Gromov about Generalizing the Alexandrov--Fenchel Inequality

Moawia Alghalith, UWI, St. Augustine; 2/8/2015e-mail: malghalith@gmail.com

Abstract/Résumé:

In this paper, we provide strong solutions to the stochastic optimization problem when the value function is not necessarily smooth.

Des solutions fortes du problème d’optimisation stochastique sont fournies dans des cas où la fonction d’utilité indirecte n’est pas forcément dérivable.

Keywords: HJB, PDE, investment, portfolio, viscosity solutions

AMS Subject Classification: 35D40

PDF(click to download): New Solutions for Non-smooth Value Functions

Pinaki Mondal, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON M5S 2E4; e-mail: pinaki@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

This article is mainly an announcement of some of the results in the articles Primitive normal compactifications of the affine plane I and II where we study normal compactifications of the affine plane from the point of view of associated pencils of jets of curves and corresponding valuations on the field of rational functions. We find an explicit criterion to determine if a discrete valuation corresponds to a normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) which is primitive (i.e., the curve at infinity is irreducible). We show that a primitive normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) is projective iff it is algebraic iff the associated pencil of jets of curves has a representative which has only one place at infinity. As an application we compute the moduli space of primitive projective compactifications of \(\mathbb{C}^2\). We also characterize primitive normal compactifications of \(\mathbb{C}^2\) which are not algebraic.

Cet article est principalement une annonce de certains résultats dans les articles Primitive compactifications normales du plan affine I et II où l’on étudie les compactifications normales du plan affine du point de vue des pinceaux associés avec les jets de courbes et des valuations correspondant sur le corps des fonctions rationnelles. Nous trouvons un critère explicite pour déterminer si une valuation discrète corresponde à une compactification normale de \(\mathbb{C}^2\) qui est primitifs (i.e., la courbe à l’infini est irréductible). Nous montrons qu’une compactification normale primitive de \(\mathbb{C}^2\) est projectif si et seulement si elle est algébrique si et seulement si le pinceau associé de jets de courbes a un représentant qui n’a qu’un seul endroit à l’infini. Comme application nous calculons l’espace des modules des compactifications primitive projectif de \(\mathbb{C}^2\). Nous avons également caractérisé les primitives compactifications normal de \(\mathbb{C}^2\) qui ne sont pas algébriques.

Keywords: compactification of C2, discrete valuations, moduli space of compactifications of C2, non-algebraic analytic surfaces

AMS Subject Classification: Rational and ruled surfaces 14J26

PDF(click to download): Compactifications of $mathbb{C}^2$ via pencils of jets of curves

Sylvain Bonnot, Instituto de Matemática e Estatística, Rua do Matão, 1010, Cidade Universitá́ria, São Paulo, SP, Brasil; e-mail: sylvain@ime.usp.br

Michael Yampolsky, Mathematics Department, University of Toronto, 40 St. George Street, Toronto, ON, M5S 2E4; e-mail: yampol@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We study canonical decompositions of postcritically-finite branched coverings of the 2-sphere, as defined by K. Pilgrim. We show that every hyperbolic cycle in the decomposition does not have a Thurston obstruction. It is thus Thurston equivalent to a rational map.

Nous étudions les décompositions canoniques de revêtements ramifiés de la sphère, avec ensembles post-critiques finis, ainsi que K. Pilgrim les a définies. Nous montrons qu’aucun cycle hyperbolique dans la décomposition n’a d’obstruction de Thurston. Par conséquent, un tel cycle est équivalent au sens de Thurston à une application rationnelle.

Keywords:

AMS Subject Classification: Combinatorics and topology 37F20

PDF(click to download): Geometrization of Postcritically-Finite Branched Coverings

Dmitry Kerner, Department of Mathematics, University of Toronto, 40 St. George Street, Toronto, Canada; e-mail: dmitry.kerner@gmail.com

Andras Nemethi, Renyi Institute of Mathematics, Budapest, Realtanoda u. 13–15; e-mail: nemethi@renyi.hu

Abstract/Résumé:

An old conjecture of Durfee bounds the ratio of two basic invariants of complex isolated complete intersection surface singularities: the Milnor number and the singularity (or geometric) genus. We give a counterexample for the case of non-hypersurface complete intersections, and we formulate a weaker conjecture valid in arbitrary dimension and codimension. This weaker bound is asymptotically sharp. In this note we support the validity of the new proposed inequality by its verification in certain (homogeneous) cases. In a subsequent paper we will prove it for several other cases and we will provide a more comprehensive discussion.

Une conjecture vieux de Durfee limite le ratio de deux invariants fondamentales des singularités des surfaces complexes qui sont intersections complètes: le nombre de Milnor et la genre (géométrique) de la singularité. Nous presentons un contre-exemple pour le cas des intersections complètes (non-hypersurface), et nous formulons une conjecture plus faible en dimensions et codimensions arbitraires. Cette bond est forte asymptotiquement. Dans cette note nous appuyons la validité de l’inégalité nouvelle par sa vérification dans certains cases homogènes. Dans le papier prochaine nous allons le prouver pour plusieurs cases et nous fournirons une analyse plus complète.

Keywords:

AMS Subject Classification: Invariants of analytic local rings 32S10

PDF(click to download): A Counterexample to Durfee's Conjecture

Adja Mbarka Fall, MAPMO, Universite Orleans, France and LERSTAD, Universite Saint-Louis, Senegal; e-mail: adjambarkafall@gmail.com

Gane Samb Lo, LSTA, UPMC, France and LERSTAD, Universite Gaston Berger de Saint-Louis, Senegal; e-mail: gane-samb.lo@ugb.edu.sn,ganesamblo@ufrsat.org

Abstract/Résumé:

We consider the Pickands process \(P_{n}(s)
= \log (1/s)^{-1} \log \frac{X_{n-k+1,n}-X_{n-[k/s]+1,n}}{X_{n-[k/s]+1,n}-X_{n-[k/s^{2}]+1,n}},
\tag{1}
\qquad
\Bigl( \frac{k}{n} \leq s^2 \leq 1 \Bigr)\) which is a generalization of the classical Pickands estimate \(P_{n}(1/2)\) of the extremal index. We undertake here a purely stochastic process view for the asymptotic theory of that process by using the Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). weighted approximation of the empirical and quantile processes to suitable Brownian bridges. This leads to the uniform convergence of the margins of this process to the extremal index and a complete theory of weak convergence of \(P_n\) in \(\ell^{\infty}([a,b])\) to some Gaussian process \[\left\{\mathbb{G},a\leq s \leq b\right\} \tag{2}\] for all \([a,b] \subset \left] 0,1 \right[\). This frame greatly simplifies the former results and enable applications based on stochastic processes methods.

Nous considérons le processus de Pickands défini en (1) qui est une généralisation de l’estimateur classique de Pickands \(P_{n}(1/2)\) de l’indice extremal. Nous abordons l’étude de ce processus du point de vue des processus stochastiques en établissant son comportement asymptotique. Nous utilisons comme outil principal l’approximation simultanée du processus empirique et du processus des quantiles uniformes dûe à Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). Nous établissons la convergence vague et uniforme du processus (1) vers un processus gaussien (2) entièrement décrit. Cette approche simplifie les résultats antérieurs et permet des applications basées sur des méthodes de processus stochastiques.

Keywords: extreme values theory; asymptotic distribution; Gaussian laws; stochastic process; empirical process; extremal index; regularly varying functions

AMS Subject Classification: Asymptotic distribution theory 62E20

PDF(click to download): On the Pickands Stochastic Process