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Homogeneity Tests for Several Distributions in Hilbert Space Based on Multiple Maximum Variance Discrepancy

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 46 (2) 2024, pp. 46–78
Vol.46 (3) 2024
Armando Sosthène Kali Balogoun; Guy Martial Nkiet Details
(Received: 2024-04-29 , Revised: 2024-05-21 )
(Received: 2024-04-29 , Revised: 2024-05-21 )

Armando Sosthène Kali Balogoun, Département de Mathématiques, Faculté des Sciences et Techniques, Université Dan Dicko Dankoulodo de Maradi, BP 465 Maradi, Niger; e-mail: armando.balogoun@uddm.edu.ne

Guy Martial Nkiet, Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences, Université des Sciences et Techniques de Masuku, BP 813 Franceville, Gabon; e-mail: guymartial.nkiet@univ-masuku.org

Abstract/Résumé:

This paper deals with the problem of testing for the equality of \(k\) probability distributions on Hilbert spaces, with \(k\geqslant 2\). We introduce a generalization of the maximum variance discrepancy called multiple maximum variance discrepancy. A consistent estimator of this measure is proposed as test statistic, and its asymptotic distribution under the null hypothesis is derived. Since this asymptotic distribution is that of an infinite sum of random variables, we then propose another test statistic obtained from an appropriate modification of the first one, and we get its asymptotic normality both under homogeneity hypothesis and under the alternative hypothesis, so introducing a faster test for homogeneity of distributions of random variables valued into a Hilbert space. A simulation study investigating the finite sample performances of the two introduced tests and comparing them to existing ones is provided.

Cet article considère le problème de test d’égalité de \(k\) lois sur un espace de Hilbert, avec \(k\geqslant 2\). Nous introduisons une généralisation de l’écart maximal de variance appelé écart maximal de variance multiple. Un estimateur convergent de cette mesure est proposé comme statistique de test, et sa loi asymptotique sous l’hypothèse nulle est déterminée. Puisque cette loi limite est celle d’une somme infinie de variables aléatoires, nous proposons ensuite une autre statistique de test obtenue à partir d’une modification appropriée de la première statistique, et nous obtenons sa normalité asymptotique aussi bien sous l’hypothèse nulle que sous l’hypothèse alternative, introduisant ainsi un test plus rapide d’homogénéité de lois de variables aléatoires à valeurs dans un espace de Hilbert. Une étude par simulation, permettant d’apprécier les performances des deux tests proposés et de les comparer à des tests existants, est fournie.

Keywords: Asymptotic normality, functional data analysis, kernel-based conditional dependence, reproducing kernel Hilbert space

AMS Subject Classification: Asymptotic distribution theory, Hilbert spaces with reproducing kernels (= proper functional Hilbert spaces; including de Branges-Rovnyak and other structured spaces) 62E20, 46E22

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On the Pickands Stochastic Process

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (2) 2012, pp. 39–49
Vol.34 (2) 2012
Adja Mbarka Fall; Gane Samb Lo Details
(Received: 2011-11-16 )
(Received: 2011-11-16 )

Adja Mbarka Fall, MAPMO, Universite Orleans, France and LERSTAD, Universite Saint-Louis, Senegal; e-mail: adjambarkafall@gmail.com

Gane Samb Lo, LSTA, UPMC, France and LERSTAD, Universite Gaston Berger de Saint-Louis, Senegal; e-mail: gane-samb.lo@ugb.edu.sn,ganesamblo@ufrsat.org

Abstract/Résumé:

We consider the Pickands process \(P_{n}(s)
= \log (1/s)^{-1} \log \frac{X_{n-k+1,n}-X_{n-[k/s]+1,n}}{X_{n-[k/s]+1,n}-X_{n-[k/s^{2}]+1,n}},
\tag{1}
\qquad
\Bigl( \frac{k}{n} \leq s^2 \leq 1 \Bigr)\)
which is a generalization of the classical Pickands estimate \(P_{n}(1/2)\) of the extremal index. We undertake here a purely stochastic process view for the asymptotic theory of that process by using the Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). weighted approximation of the empirical and quantile processes to suitable Brownian bridges. This leads to the uniform convergence of the margins of this process to the extremal index and a complete theory of weak convergence of \(P_n\) in \(\ell^{\infty}([a,b])\) to some Gaussian process \[\left\{\mathbb{G},a\leq s \leq b\right\} \tag{2}\] for all \([a,b] \subset \left] 0,1 \right[\). This frame greatly simplifies the former results and enable applications based on stochastic processes methods.

Nous considérons le processus de Pickands défini en (1) qui est une généralisation de l’estimateur classique de Pickands \(P_{n}(1/2)\) de l’indice extremal. Nous abordons l’étude de ce processus du point de vue des processus stochastiques en établissant son comportement asymptotique. Nous utilisons comme outil principal l’approximation simultanée du processus empirique et du processus des quantiles uniformes dûe à Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). Nous établissons la convergence vague et uniforme du processus (1) vers un processus gaussien (2) entièrement décrit. Cette approche simplifie les résultats antérieurs et permet des applications basées sur des méthodes de processus stochastiques.

Keywords: extreme values theory; asymptotic distribution; Gaussian laws; stochastic process; empirical process; extremal index; regularly varying functions

AMS Subject Classification: Asymptotic distribution theory 62E20

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