Nikita Selinger,Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook NY, USA; e-mail: nikita@math.sunysb.edu

Michael Yampolsky,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON M5S 2E4; e-mail: yampol@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We prove that every Thurston map can be constructively geometrized in a canonical fashion. According to Thurston’s theorem, a map with hyperbolic orbifold has a canonical geometrization – a combinatorially equivalent postcritically finite rational map of the Riemann sphere – if and only if there is no Thurston obstruction. We follow Pilgrim’s idea of a canonical decomposition of a Thurston map to handle the obstructed case. A key ingredient of our proof is a geometrization result for marked Thurston maps with parabolic orbifolds – an analogue of Thurston’s theorem for the exceptional case not covered by it.

On montre que toute application de Thurston peut être géométrisée de façon constructive et canonique. Selon le théoreme de Thurston, une telle application ayant un orbifold hyperbolique possède une géométrisation canonique, c’est-à-dire une fonction rationnelle combinatoriellement équivalente dont les orbites critiques sont finies, si et seulement s’il n’existe pas d’obstruction de Thurston. On traite le cas où il existe une obstruction en utilisant l’idée de Pilgrim d’une décomposition canonique d’une application de Thurston. L’ingrédient principal de la preuve est un résultat de géométrisation pour les applications de Thurston marquées ayant un orbifold parabolique – un analogue du théorème de Thurston pour le cas exceptionnel.

Keywords: Thurston equivalence, Thurston obstruction, decidability, geometrization

AMS Subject Classification: Combinatorics and topology, Special coverings; e.g. branched 37F20, 57M12

PDF(click to download): Constructive Geometrization of Thurston Maps

Sylvain Bonnot, Instituto de Matemática e Estatística, Rua do Matão, 1010, Cidade Universitá́ria, São Paulo, SP, Brasil; e-mail: sylvain@ime.usp.br

Michael Yampolsky, Mathematics Department, University of Toronto, 40 St. George Street, Toronto, ON, M5S 2E4; e-mail: yampol@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We study canonical decompositions of postcritically-finite branched coverings of the 2-sphere, as defined by K. Pilgrim. We show that every hyperbolic cycle in the decomposition does not have a Thurston obstruction. It is thus Thurston equivalent to a rational map.

Nous étudions les décompositions canoniques de revêtements ramifiés de la sphère, avec ensembles post-critiques finis, ainsi que K. Pilgrim les a définies. Nous montrons qu’aucun cycle hyperbolique dans la décomposition n’a d’obstruction de Thurston. Par conséquent, un tel cycle est équivalent au sens de Thurston à une application rationnelle.

Keywords:

AMS Subject Classification: Combinatorics and topology 37F20

PDF(click to download): Geometrization of Postcritically-Finite Branched Coverings