Marcel Dossa,University of Yaounde I, Faculty of Sciences, Department of Mathematics, P. O. Box. 812, Yaounde, Cameroon; e-mail: marceldossa@yahoo.fr

Jean Baptiste Patenou,University of Dschang, Faculty of Sciences, Department of Mathematics and Computer Science, P. O. Box. 67 Dschang, Cameroon
e-mail: jeanbaptiste.patenou@univ-dschang.org,jpatenou@yahoo.fr

Abstract/Résumé:

In this paper, we consider the initial value problem for the Einstein-Vlasov scalar field equations in temporal gauge, where the initial data are prescribed on two characteristic smooth intersecting hypersurfaces. From a suitable choice of some free data, the initial data constraints’s problem is solved globally, then the evolution problem relative to the deduced initial data is solved locally in time.

Dans cet article, on considère le problème de Cauchy pour les équations d’Einstein-Vlasov-Champ scalaire en jauge temporelle, dans le cas où les données initiales sont préscrites sur deux hypersurfaces caractéristiques régulières sécantes. A partir d’un choix judicieux de certaines données indépendantes, le problème des contraintes initiales est globalement résolu, et ensuite le problème de l’évolution relatif aux données initiales déduites est résolu localement dans le temps.

Keywords: Characteristic Cauchy problem, general relativity, geometric-transport scalar field equations, initial data constraints's problem, temporal gauge, well posedness

AMS Subject Classification: PDE in relativity, Einstein's equations (general structure; canonical formalism; Cauchy problems) 35Q75, 83C05

PDF(click to download): Cauchy Problem on Two Characteristic Hypersurfaces for the Einstein-Vlasov Scalar Field Equations in Temporal Gauge

Calvin Tadmon, Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science, University of Dschang, P. O. Box 67, Dschang, Cameroon; e-mail: tadmonc@yahoo.fr and Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Pretoria, 0002, Pretoria, South Africa; e-mail: calvin.tadmon@up.ac.za

Abstract/Résumé:

We show how to assign, on two intersecting null hypersurfaces, initial data for the Einstein-Vlasov system in harmonic coordinates. As all the components of the metric appear in each component of the stress-energy tensor, the hierarchical method of Rendall cannot apply strictly speaking. To overcome this difficulty, additional assumptions have been imposed to the metric on the initial hypersurfaces. Consequently, the distribution function is constrained to satisfy some integral equations on the initial hyper surfaces.

Nous montrons comment construire, sur deux hypersurfaces caractéristiques sécantes, les données initiales pour le problème de Cauchy associé aux équations d’Einstein-Vlasov en jauge harmonique. Comme toutes les composantes de la métrique apparaissent dans chaque composante du tenseur d’impulsion-énergie, la méthode de construction hierarchisée de Rendall ne peut pas s’appliquer stricto sensu. Pour surmonter cette difficulté, une condition supplémentaire est imposée à la métrique sur les hypersurfaces initiales. Par conséquent la fonction de distribution des particules est contrainte à vérifier des équations intégrales sur les hypersurfaces initiales.

Keywords: Goursat problem

AMS Subject Classification: Gases, Einstein's equations (general structure; canonical formalism; Cauchy problems) 82D05, 83C05

PDF(click to download): The Goursat problem for the Einstein-Vlasov system: (I) The initial data constraints