Othman Echi, Department of Mathematics, Faculty of Sciences of Tunis, University of Tunis-El Manar, Campus Universitaire, 2092 Tunis, Tunisia; e-mail: othechi@yahoo.com

Abstract/Résumé:

Let \(N\) be a composite squarefree number; \(N\) is said to be a Carmichael number if \(p-1\) divides \(N-1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). H. C. Williams has stated an interesting problem of whether there exists a Carmichael number \(N\) such that \(p+1\) divides \(N+1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). This is a long standing open question, and it is possible that there is no such number.

For a given nonzero integer \(a\), we call \(N\) an \(a\)-Korselt number if \(N\) is composite, squarefree and \(p-a\) divides \(N-a\) for all primes \(p\) dividing \(N\). We will say that \(N\) is an \(a\)-Williams number if \(N\) is both an \(a\)-Korselt number and a \((-a)\)-Korselt number.

Extending the problem of Willams, one may ask more generally if for a given nonzero integer \(a\), there is an \(a\)-Williams number. We give an affirmative answer to the question for \(a =3p\), where \(p\) is a prime number such that \(3p-2\) and \(3p+2\) are primes. We also prove that each \(a\)-Williams number has at least three prime factors.

Soit \(N\) un nombre composé et sans facteur carré; \(N\) est dit un nombre de Carmichael si \(p-1\) divise \(N-1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). H. C. Williams a posé un problème concernant l’existence d’un nombre de Carmichael \(N\) tel que \(p+1\) divise \(N+1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). C’est donc un ancient problème, et il se peut qu’il n’existe pas de tel nombre.

Pour un entier naturel non nul \(a\), on dit que \(N\) est un nombre \(a\)-Korselt si \(N\) est composé, sans facteur carré et \(p-a\) divise \(N-a\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). On dira que \(N\) est un nombre \(a\)-Williams si \(N\) est à la fois \(a\)-Korselt et \((-a)\)-Korselt.

On a, alors, le problème suivant: pour un entier naturel non nul \(a\), existe-t-il un nombre \(a\)-Williams? On donne une réponse affirmative à cette question, dans le cas où \(a =3p\), où \(p\) est un nombre premier tel que \(3p-2\) et \(3p+2\) sont premiers. On montre aussi que tout nombre \(a\)-Williams possède au moins \(3\) facteurs premiers.

Keywords: Carmichael number, prime number, squarefree composite number

AMS Subject Classification: Algorithms; complexity 11Y16

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