Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Canada; e-mail: albru@math.ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

The concept of a weak Markov set takes its origin from Whitney problems for differentiable functions on \(\mathbb R^n\). These are the only sets for which differential calculus similar to that for open subsets of \(\mathbb R^n\) can be developed to some extent. This paper surveys some recent results in this direction obtained by the author. In particular, we show that some classical results for smooth functions and differential forms (such as the Poincaré Lemma, the de Rham and Hartogs theorems, the Künneth formulas, etc.) are valid also on certain weak Markov sets and more generally on certain topological spaces with weak Markov structures. The class of such spaces includes \(C^\infty\) manifolds with boundaries and some Lipschitz and fractal topological manifolds.

Le concept d’un ensemble faible de Markov provient des problèmes de Whitney pour des fonctions différentiables sur \(\mathbb R^n\). Ce sont les seuls ensembles pour lesquels le calcul différentiel semblable à celui pour les sous-ensembles ouverts de \(\mathbb R^n\) peut être développé dans une certaine mesure. Cet article examine quelques résultats récents dans cette direction obtenus par l’auteur. En particulier, on prouve que quelques résultats classiques pour les fonctions lisses et les formes différentielles (comme le lemme de Poincaré, les théorèmes de de Rham et de Hartogs, les formules de Künneth, etc.) sont également valides sur quelques ensembles faibles de Markov et plus généralement sur quelques espaces topologiques munis de structures faibles de Markov. La classe de tels espaces inclut les variétés lisses à bord et quelques variétés topologiques lipschitziennes et fractales.

Keywords: Ck function, Weak Markov set, Whitney problems, de Rham cohomology, extension, trace

AMS Subject Classification: Continuity and differentiation questions 26B05

PDF(click to download): Differential Relations on Weak Markov Sets