Michael J. Kozdron, University of Regina, Department of Mathematics and Satistics, Regina, SK S4S 0A2; email: kozdron@stat.math.uregina.ca

Abstract/Résumé:

We review some recently completed research that establishes the scaling limit of Fomin’s identity for loop-erased random walk on \(\mathbb{Z}^2\) in terms of the chordal Schramm–Loewner evolution (SLE) with parameter \(2\). In the case of two paths, we provide a simplified proof of the identity for loop-erased random walk and simple random walk, and prove directly that the corresponding identity holds for chordal \(\operatorname{SLE}_2\) and Brownian motion. We also include a brief introduction to SLE and discussion of the relationship between \(\operatorname{SLE}_2\) and loop-erased random walk.

Nous passons en revue de la recherche récemment réalisée qui établit la limite de l’identité de Fomin pour la marche aléatoire à boucles effacées sur \(\mathbb{Z}^2\) en termes du processus Schramm–Loewner (où SLE pour Schramm–Loewner evolution) avec paramètre 2. Dans le cas de deux chemins, nous fournissons une preuve simplifiée de l’identité pour la marche aléatoire à boucles effacées et la marche aléatoire simple, et prouvons ordonner que l’identité correspondante se tient pour \(\operatorname{SLE}_2\) et le mouvement brownien. Nous incluons également une brève introduction au processus Schramm–Loewner et une discussion du rapport entre \(\operatorname{SLE}_2\) et la marche aléatoire à boucles effacées.

Keywords: Brownian excursion measure, Brownian motion, Fomin’s identity, Schramm–Loewner evolution, excursion Poisson kernel, loop-erased random walk, simple random walk

AMS Subject Classification: Research exposition (monographs; survey articles) 60-02

PDF(click to download): The scaling limit of Fomin's identity for two paths in the plane