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An affine Bezout type theorem and projective completions of affine varieties

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 30 (4) 2009, pp. 115–126
Vol.30 (4) 2008
Pinaki Mondal Details
(Received: 2008-04-17 , Revised: 2008-08-15 )
(Received: 2008-04-17 , Revised: 2008-08-15 )

Pinaki Mondal, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON; email: pinaki@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We study projective completions of affine algebraic varieties that are given by filtrations on their rings of regular functions, including a formula for their degrees. For a quasifinite polynomial map \(P\) (i.e., with all fibers finite) of affine varieties, we prove that there are completions of the source that do not add points at infinity for \(P\) (i.e., in the intersection of completions of the hypersurfaces corresponding to a generic fiber and determined by the component functions of \(P\)). Moreover, we show that there are “finite type” completions with the latter property determined by “degree-like functions” that can be expressed as the maximum of a finite number of “semidegrees”, i.e., maps of the ring of regular functions excluding zero, into integers, which send products into sums and sums into maxima (with a possible exception when the summands have the same semidegree). We characterize the latter type filtrations as the ones for which the ideal of the “hypersurface at infinity” is radical. Moreover, we establish a one-to-one correspondence between the collection of minimal associated primes of the latter ideal and the unique minimal collection of semidegrees needed to define the corresponding degree-like function. We also prove an “affine Bezout type” theorem for quasifinite polynomial maps \(P \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) which admit completions that do not add points at infinity for \(P\) and are determined by semidegrees.

Nous étudions les complétions projectives de variétés affines algébriques qui sont données par des filtrations sur leurs anneaux des fonctions régulières, y compris une formule pour leurs degrés. Pour une application quasifinie polynomiale \(P\) (c’est-à-dire avec toutes les fibres finies) affine de variétés, nous prouvons qu’il existe des complétions de la source qui n’ajoutent aucun point à l’infini pour \(P\) (c’est-à-dire à l’intersection des complétions des hypersurfaces correspondantes à une fibre générique et déterminée par les fonctions composantes de \(P\)). De plus, nous montrons qu’il existe de “type fini” complétions avec cette dernière propriété determinée par des “fonctions de type degré” qui peut être exprimé comme les maxima d’un nombre fini de ‘semidegrés’, c’est-à-dire les applications de l’anneau des coordonnées, moins zéro, sur les entiers, qui envoient des produits aux sommes et les sommes aux maxima (avec une exception possible lorsque les monômes à additionner ont les mêmes semidegrés). Nous caractérisons les filtrations du dernier type comme celles pour qui l’idéal de l’hypersurface ‘à l’infini’ est radical. En outre, nous établissons une correspondance bijective entre la collection des premiers minimaux associés à ce dernier idéal et la collection minimale unique de semidegrés nécessaires pour la définition de la fonction pareille au degré correspondante. Nous démontrons aussi un théorème du ‘type de Bézout affine’ pour applications quasifinies polynomiales \(P \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) qui admettent des complétions qui n’ajoutent aucun point à l’infini pour \(P\) et sont déterminées par des semidegrés.

Keywords: affine Bezout type, completion, degree of completion, degree-like function, projective completion, quasi-degree, semidegree

AMS Subject Classification: Varieties and morphisms 14A10

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