Francois Lalonde, Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, Montréal, Québec, Canada; e-mail: lalonde@dms.umontreal.ca

Abstract/Résumé:

In this paper, I explain the emergence of Symplectic geometry and Symplectic topology, as it occurred historically, from three sources: classical and quantum physics, complex Algebraic geometry, and String theory. Symplectic topology is nowadays one of the most fascinating subjects in mathematics, and has reached since the 1980’s a maturity that deserves the attention of all mathematicians and physicists. It combines topology, geometry, non-linear partial differential equations or relations, \(A^{\infty}\) algebras, and String theory in a powerful setting that addresses some of the most elusive questions of our times. It is made of soft \(h\)-principles coupled with hard transcendental, rigid, moduli spaces of solutions to PDE’s on manifolds. I will end the paper with some conjectures in Symplectic topology, after explaining the difference between smooth and \(C^0\) Symplectic topology.

Dans cet article, j’explique l’émergence de la géométrie symplectique et de la topologie symplectique, en suivant leur naissance et leur évolution au cours des siècles, à partir de trois sources: la physique classique et quantique, la géométrie algébrique complexe, et la théorie des cordes. La topologie symplectique est aujourd’hui l’un des domaines les plus fascinants de la recherche mathématique mondiale et a atteint, depuis les années 1980 une maturité qui mérite l’attention de tous les mathématiciens et physiciens. Elle rassemble la topologie, la géométrie, les équations aux dérivées partielles non-linéaires, les \(A^{\infty}\)-algèbres et la théorie des cordes dans une théorie puissante qui s’adresse aux problèmes les plus subtils de notre époque. Elle est faite du \(h\)-principe topologique, une théorie “soft”, couplée à un vaste ensemble d’espaces de modules d’EDP sur les variétés, que l’on peut qualifier de “hard” ou transcendental. Je conclurai cet article avec quelques conjectures en topologie symplectique après avoir expliqué la différence entre les topologies symplectiques lisse et \(C^0\).

Keywords: $C^0$-Symplectic topology, Capacities, Gromov-Witten invariants, Hamiltonian dynamics, Lagrangian submanifolds, String theory, Symplectic topology

AMS Subject Classification: Global theory of symplectic and contact manifolds, Spectral sequences and homology of fiber spaces, Symplectic and contact topology, Topological properties of groups of homeomorphisms or diffeomorphisms 53D35, 55R20, 57R17, 57S05

PDF(click to download): $C^0$ Symplectic Topology