Christian Genest, Department of Mathematics and Statistics, McGill University, 805, rue Sherbrooke ouest, Montreal (Quebec) Canada H3A 0B9; e-mail: christian.genest@mcgill.ca

Abstract/Résumé:

An extension of Stein’s lemma to arbitrary random pairs was recently proposed in the preceding article. It is shown that this generalization is valid only for linear functions and hence trivial.

Une généralisation du lemme de Stein à toute paire d’aléas a récemment été proposée dans l’article précédent. On montre que cette extension n’est valable que pour les fonctions affines et qu’elle est donc triviale.

[Note: By special arrangement this article is open access]

Keywords: Stein's lemma, covariance

AMS Subject Classification: Characterization and structure theory of statistical distributions, Characterization and structure theory for multivariate probability distributions; copulas 62E10, 62H05

PDF(click to download): On an Extension of Stein's Lemma

Moawia Alghalith,Department of Economics, University of the West Indies, St. Augustine, Trinidad; e-mail: malghalith@gmail.com

Abstract/Résumé:

We generalize Stein’s lemma. That is, we do not assume a specific probability distribution. We also provide new additional results for the covariance and the variance.

Nous généralisons le lemme de Stein. Autrement dit, nous ne supposons pas une distribution de probabilité spécifique. Nous fournissons également de nouveaux résultats supplémentaires pour la covariance et la variance.

Keywords: Stein's lemma, covariance, exact Taylor expansion, probability distribution, variance

AMS Subject Classification: Exact distribution theory 62E15

PDF(click to download): Generalizing Stein's Lemma

Alexander Brudnyi,Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, T2N 1N4, Canada; e-mail: abrudnyi@ucalgary.ca

Almaz Buraev, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, T2N 1N4, Canada; e-mail: butaev@ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

Let \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) be the Banach space of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\) bounded together with all derivatives of order \(\le k\) , where the derivatives of order \(k\) have moduli of continuity majorization by \(c\,\omega\) , \(c\in\mathbb R_+\) , for some \(\omega\in C(\mathbb R_+)\) . For a closed set \(S\subset{\mathbb R}^n\) the jet space \(J_b^{k,\omega}(S)\) is the Banach space of vector functions whose components are partial derivatives of functions in \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) evaluated at points of \(S\) equipped with the corresponding quotient norm. The geometric predual \(G_J^{k,\omega}(S)\) of \(J_b^{k,\omega}(S)\) is the minimal closed subspace of the dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) containing the evaluation functionals of all partial derivatives of order \(\le k\) at points in \(S\) . In the paper we study some geometric properties of spaces \(G_J^{k,\omega}(S)\) related to the classical Whitney problems.

Soit \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) l’espace de Banach des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\) bornées avec toutes les dérivées d’ordre \(k\) , où les dérivés d’ordre \(k\) ont des modules de continuités majorés par \(c\,\omega\) , \(c\in\mathbb R_+\) , pour quelques \(\omega\in C(\mathbb R_+)\) . Pour un ensemble fermé \(S\subset{\mathbb R}^n\) l’espace de jet \(J_b^{k,\omega}(S)\) est l’espace de Banach des fonctions vectorielles dont les composantes sont des dérivées partielles des fonctions en \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) évaluées aux points de \(S\) équipés de la norme du quotient correspondante. Le prédual géométrique \(G_J^{k,\omega}(S)\) de \(J_b^{k,\omega}(S)\) est le sous-espace minimal fermé du dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) contenant les fonctionnelles d’évaluation de toutes les dérivées partielles d’ordre \(\le k\) aux points de \(S\) . Dans cet article, nous étudions certaines propriétés géométriques des espaces \(G_J^{k,\omega}(S)\) liées aux problèmes classiques de Whitney.

Keywords: Predual space, Whitney problems, approximation property, second dual space, trace space

AMS Subject Classification: Geometry and structure of normed linear spaces, Banach spaces of continuous; differentiable or analytic functions 46B20, 46E15

PDF(click to download): On Geometric Preduals of Jet Spaces on Closed Subsets of ${mathbb R}^n$

Benito Pires,Departamento de Computacao e Matematica, Faculdade de Filosoa, Ciencias e Letras, Universidade de Sao Paulo, 14040-901, Ribeirao Preto - SP, Brazil; e-mail: benito@usp.br

Abstract/Résumé:

Let \(I=[0,1)\), \(b\in \{2,3,\ldots\}\) and \(f:I\to I\) be an injective piecewise \(\frac{1}{b}\)-affine map, that is, assume that there exists a partition of \(I\) into intervals \(I_1,\ldots,I_n\) such that \(f(x)-f(y)=\frac1b ( x-y)\) for all \(x,y\in I_i\) and \(1\le i\le n\). In this note, we study the \(\delta\)-parameter family of maps \(f_{\delta}=R_{\delta}\circ f\), where \(R_\delta:x\mapsto \{x+\delta\}\). More precisely, we show that the set \(\mathcal{N}\) of parameters \(\delta\) for which \(f_{\delta}\) has only natural \(f_{\delta}\)-codings with maximal complexity is a non-empty set with Hausdorff dimension \(0\). We also show that for all \(\delta\in\mathcal{N}\), the map \(f_{\delta}\) is topologically semiconjugate to a minimal \(n\)-interval exchange transformation satisfying Keane’s i.d.o.c. condition.

Soit \(I=[0,1)\), \(b\in \{2,3,\ldots\}\) et \(f:I\to I\) une fonction injective \(\frac{1}{b}\)-affine par morceaux, c’est-à-dire, supposons qu’il existe une partition de \(I\) en intervalles \(I_1,\ldots,I_n\) telle que \(f(x)-f(y)=\frac1b ( x-y)\) pour tous \(x,y\in I_i\) et \(1\le i\le n\). Dans cette note, nous étudions la famille de fonctions \(f_{\delta}=R_{\delta}\circ f\), où \(R_\delta:x\mapsto \{x+\delta\}\). Plus précisément, nous montrons que l’ensemble \(\mathcal{N}\) de paramètres \(\delta\) pour lesquels \(f_{\delta}\) a seulement \(f_{\delta}\)-codages naturelles avec complexité maximale est un ensemble non-vide de dimension de Hausdorff \(0\). Nous montrons aussi que pour tous \(\delta\in\mathcal{N}\), la fonction \(f_{\delta}\) est topologiquement semi-conjugué à un échange de \(n\) intervalles minimal satisfaisant à la condition i.d.o.c. de Keane.

Keywords: Piecewise contraction, b-adic expansion, interval maps, symbolic dynamics

AMS Subject Classification: , Symbolic dynamics, Dimension theory of dynamical systems 11Zxx, 37B10, 37C45

PDF(click to download): Piecewise Contractions and $b$-adic Expansions

Michael Yampolsky,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON, Canada M5S 2E4; e-mail: yampol@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

We develop a renormalization theory for analytic homeomorphisms of the circle with two cubic critical points. We prove a renormalization hyperbolicity theorem. As a basis for the proofs, we develop complex a priori bounds for multi-critical circle maps.

On développe une théorie de renormalisation pour les homéomorphismes analytiques du cercle à deux points critiques cubiques. On démontre un théorème d’hyperbolicité dans le cadre de renormalisation. Comme base des démonstrations, on développe des bornes complexes a priori pour les applications du cercle dans lui-même aux points critiques multiples

Keywords: Critical circle map, Renormalization, complex bounds

AMS Subject Classification: Maps of the circle, Universality; renormalization, Renormalization 37E10, 37E20, 37F25

PDF(click to download): Renormalization of Bi-cubic Circle Maps

Walter Craig

Mikale Reddy,Department of Mathematics and Statistics, McMaster University, Hamilton, Ontario L8S 4K1, Canada; e-mail: reddymikale@gmail.com

Abstract/Résumé:

We solve the source free electromagnetic wave equation in Friedmann-Robertson-Walker space-times for curvature \(K=0\) and \(K=-1\). Deriving a solution expression in the form of spherical means we deduce and compare two properties of the Maxwell propagator, namely, decay rates and continuity through the space-time singularity to that of the scalar wave equation presented by Abbasi and Craig (2014).

On résout l’équation des ondes électromagnétiques dans l’espace-temps de Friedmann-Robertson-Walker pour les courbures \(K = 0\) et \(K = -1\). En obtenant une expression de la solution en termes de moyennes sphériques, on déduit et compare deux propriétés du propagateur de Maxwell, à savoir le taux de décroissance et la continuité à travers la singularité, à celles de l’équation des ondes scalaires présentée par Abbasi et Craig (2014).

Keywords: electromagnetic wave equation, general relativity, space-time singularity

AMS Subject Classification: PDE in relativity, 35Q75, 85F08

PDF(click to download): On the Initial Value Problem for the Electromagnetic Wave Equation in Friedmann-Robertson-Walker Space-times

George A. Elliott,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Canada M5S 2E4; e-mail: elliott@math.toronto.edu

Cristian Ivanescu.Department of Mathematics and Statistics, MacEwan University, Edmonton, Alberta, Canada T5J 4S2; e-mail: IvanescuC@macewan.ca

Dan Kurcerovsky.Department of Mathematics and Statistics, University of New Brunswick, Fredericton, New Brunswick, Canada E38 5A3; e-mail: dkucerov@unb.ca

Abstract/Résumé:

We calculate the Cuntz semigroup of the tensor product of two C\(^*\)-algebras, restricting attention to the case that the Cuntz semigroup, both for the given algebras and for the tensor product, is given by affine functions. We show that the answer is the universal Cuntz category tensor product of Antoine et al. (2018).

On démontre que, dans certains cas, le semigroupe de Cuntz du produit tensoriel de deux C\(^*\)-algèbres est le produit tensoriel dans la catégorie de Cuntz.

Keywords: C*-algebra tensor product, Cuntz Semigroup, tracial cone

AMS Subject Classification: Convex sets in topological linear spaces; Choquet theory, General theory of $C^*$-algebras 46A55, 46L05

PDF(click to download): The Cuntz Semigroup of the Tensor Product of C*-algebras

Alexander Brudnyi,Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada T2N 1N4; e-mail: abrudnyi@ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

We study the structure of countable subgroups of the group \(G[[r]]\) of complex formal power series under the operation of composition of series. In particular, we prove that every finitely generated fully residually free group is embeddable in \(G[[r]]\)

Nous étudions la structure des sous-groupes dénombrables du groupe \(G[[r]]\)des séries de puissance formelle sous l’opération de la composition des séries. En particulier, nous prouvons que chaque groupe qui est finement engendré et \(\omega\)-résiduellement libre admet un plongement dans \(G[[r]]\)

Keywords: Group of formal power series, free product of groups, fully residually free group, the big powers condition

AMS Subject Classification: Free products; free products with amalgamation; Higman-Neumann-Neumann extensions; and generalizations, Other groups related to topology or analysis 20E06, 20F38

PDF(click to download): Subgroups of the Group of Formal Power Series with the Big Powers Condition

Jasbir S. Chahal,Department de Mathematiques, Universite de Brigham Young, Provo, UT 84602, USA; email: asbir@math.byu.edu

Omar Khadir,Laboratoire de Mathematiques, cryptographie, mecanique et analyse numerique, Fstm., Universite Hassan II de Casablanca, Maroc; email:
khadir@hotmail.com

Abstract/Résumé:

La conjecture des quatre couleurs affirme que toute carte géographique à bords continus nécessite au plus quatre couleurs pour être proprement colorée. Certains pays comme le Canada exigent en réalité seulement trois couleurs alors que d’autres, comme le Maroc, nécessitent eux quatre couleurs, trois ne suffisant pas. Soit \(k=k(X)\) le plus petit nombre de couleurs nécessaires au coloriage de la carte d’un pays. Aucun calcul n’a été fait pour déterminer de combien de manières \(X\) peut-il être coloré avec les \(k\) couleurs même pour un seul pays pour lequel le problème n’est pas trivial. Dans ce travail, nous le réalisons pour deux pays : le Canada et le Maroc. Nous décrivons tous les outils mathématiques dont nous aurons besoin.

The four color conjecture states that any contiguous geographical entity needs at most four colors to color it properly. Some countries like Canada need actually only three colors whereas for others like Morocco three won’t suffice. Let \(k=k(X)\) be the least number of colors that suffice to color a country \(X\). Someone has yet to compute in how many ways \(X\) can be colored with \(k\) colors, even for a single country \(X\) for which the problem is non-trivial. In this paper, we do it for the two countries Canada and Morocco. We provide all the mathematical tools that are necessary.

Keywords:

AMS Subject Classification: Coloring of graphs and hypergraphs, 05C15, 05C31

PDF(click to download): Polynômes chromatiques de certains graphes de la vie réelle

Paula Tretkoff,Department of Mathematics, Texas A & M University, College Station, TX 77843-3368 USA; CNRS, UMR 8524, Universite de Lille 1, Cite Scientifique, 59655 Villeneuve d'Ascq, France; e-mail: paulatretkoff@tamu.edu

Abstract/Résumé:

We extend some results of on elliptic modular forms. We take any Fuchsian triangle group with a cusp and look at power series expansions in a natural parameter around that cusp. Consider the automorphic forms for such a triangle group whose power series expansions in the natural parameter have algebraic coefficients. We show that the zeros of such forms are either transcendental, or are “CM.” By “CM,” we mean they correspond to abelian varieties with complex multiplication. This result is the first of its kind in the case of non-arithmetic groups.

Nous étendons certains résultats de sur les formes modulaires elliptiques. Nous prenons un groupe fuchsien triangulaire quelconque avec une pointe et examinons les développements en série de puissance dans un paramètre naturel autour de cette pointe. Considérons les formes automorphes pour un tel groupe triangulaire dont les développements en série de puissance dans le paramètre naturel ont des coefficients algébriques. Nous montrons que les zéros de telles formes sont soient transcendants soient “CM”. Par “CM,” nous voulons dire qu’ils correspondent à des variétés abéliennes à multiplication complexe. Ce résultat est le premier du genre au cas des groupes non-arithmétiques.

Keywords: Transcendence, automorphic forms, modular embedding, non-arithmetic group

AMS Subject Classification: Transcendence (general theory), Transcendence theory of other special functions, Fuchsian groups and their generalizations 11J81, 11J91, 20H10

PDF(click to download): Transcendence of Zeros of Automorphic Forms for Cuspidal Triangle Groups

George A. Elliott, FRSC,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4; e-mail: elliott@math.toronto.edu,

Qingzhai Fan,Department of Mathematics, Shanghai Maritime University, Shanghai, China 201306; e-mail: fanqingzhai@fudan.edu.cn,qzfan@shmtu.edu.cn

Xiaochun Fang,Department of Mathematics, Tongji University, Shangha, China 200092; e-mail: xfang@mail.tongji.edu.cn

Abstract/Résumé:

We show that the following properties of the \({\rm C^*}\)-algebras in a class \(\Omega\) are inherited by simple unital \({\rm C^*}\)-algebras in the class \({\rm TA}\Omega\): \((1)\) \(\beta\)-comparison (\(1\leq \beta < \infty\)), \((2)\) \(n\)-comparison, \((3)\) trace \(\mathcal{Z}\)– absorption, \((4)\) \(m\)-almost divisibility, \((5)\) \((n,m) ~(m\neq 0)\) comparison, and \((6)\) tracial approximate divisibility. As an application, every unital simple \({\rm C^*}\)-algebra with tracial topological rank at most \(k\) has the property of \(k\)-comparison. Also as an application, let \(A\) be an infinite-dimensional simple unital \({\rm C^*}\)-algebra such that \(A\) has one of the above-listed properties. Suppose that \(\alpha: G\to {\rm Aut}(A)\) is an action of a finite group \(G\) on \(A\) which has the tracial Rokhlin property. Then the crossed product \({\rm C^*}\)-algebra \({\rm C^*}( G, A,\alpha)\) also has the property under consideration.

On considère plusieurs propriétés d’une C*-algèbre simple à élément unité qui sont héritées par approximation traciale. Comme application on démontre que ces propriétés sont aussi héritées par la C*-algèbre produit croisé associée à une action d’un groupe fini qui possède la propriété de Rokhlin traciale.

Keywords: C*-algebra, Cuntz Semigroup, tracial approximation

AMS Subject Classification: General theory of $C^*$-algebras, Classifications of $C^*$-algebras; factors, K-theory and operator algebras -including cyclic theory 46L05, 46L35, 46L80

PDF(click to download): Certain Properties of Tracial Approximation ${C^*}$-Algebras

Ralf Meyer,Mathematisches Institut, Georg-August Universitaet Goettingen, Bunsenstrasse 3-5, 37073 Goettingen, Germany; email: rmeyer2@uni-goettingen.de

Abstract/Résumé:

The index map in topological K-theory for real Banach algebra extensions is a natural transformation from the first K-theory of the quotient to the zeroth K-theory of the ideal. We show that any such natural transformation is an integer multiple of the index map.

L’application index dans la K-théorie des extensions d’algèbres de Banach réelles est une transformation naturelle entre le premier K-groupe de l’algèbre quotient et le zéroième K-groupe de l’idéal. On démontre qu’une telle transformation naturelle doit être un multiple intégral de l’application index.

Keywords: Index map, real K-theory

AMS Subject Classification: Index theory, K-theory and operator algebras -including cyclic theory 19K56, 46L80

PDF(click to download): Uniqueness of the Index Map in Real K-theory

George A. Elliott,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Canada M5S 2E4; e-mail: elliott@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

It is shown that the index map in the theory of real Banach algebras is unique as a natural transformation, up to an integral multiple, and modulo a (unique) two-torsion “ghost” map arising from the order-two K\(_1\)-group of the Banach algebra \({\mathbb R}\) (of real numbers). (In the earlier paper this was shown for complex Banach algebras, of course without the “ghost” map, but in way—using Bott periodicity to pass to the opposite parity—that is not available for real Banach algebras. The present approach yields a new proof in the complex case.)

On démontre que l’application index dans la K-théorie des algèbres de Banach réelles (ou complexes) est essentiellment unique.

Keywords: K-theory, index theory

AMS Subject Classification: Index theory, K-theory and operator algebras -including cyclic theory 19K56, 46L80

PDF(click to download): Uniqueness of the Index Map in Banach Algebra K-theory, II

Frederic Latremoliere,Department of Mathematics, University of Denver, Denver CO 80208; e-mail: frederic@math.du.edu

Abstract/Résumé:

We survey the symmetry preserving properties for the dual propinquity, under natural non-degeneracy and equicontinuity conditions. These properties are best formulated using the notion of the covariant propinquity when the symmetries are encoded via the actions of proper monoids and groups. We explore the issue of convergence of Cauchy sequences for the covariant propinquity, which captures, via a compactness result, the fact that proper monoid actions can pass to the limit for the dual propinquity.

Nous étudions les propriétés de conservation des symmétries des espaces quantiques pour la proximité duale, sous des conditions naturelles d’équicontinuité et de non dégénérescence. Ces propriétés sont exprimées naturellement dans le language de la proximité covariante, qui permet de discuter la convergence d’actions de groupes et semigroupes sur les espaces quantiques. Nous explorons le problème de la convergence des suites de Cauchy pour la proximité covariante, qui capture, grâce a un théoreme de compacité, le fait que les actions de monoides propres passent à la limite pour la proximité duale.

Keywords: C*-dynamical systems, Gromov-Hausdor convergence, Gromov-Hausdor distance for proper monoids, Lip-norms, Monge- Kantorovich distance, Noncommutative metric geometry, proper monoids, quantum metric spaces

AMS Subject Classification: K-theory and operator algebras -including cyclic theory, Noncommutative geometry (__ la Connes) 46L80, 58B34

PDF(click to download): A Survey of the Preservation of Symmetries by the Dual Gromov-Hausdorff Propinquity

Benjamin Briggs,Department of Mathematics, University of Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4; e-mail: ben.briggs@mail.utoronto.ca

Abstract/Résumé:

Here we continue the development of Lusternik-Schnirelmann category in local commutative algebra. In particular, we present a version of Félix-Halperin’s mapping theorem which is valid in any characteristic. Then we briefly discuss some consequences for the behaviour of the homotopy Lie algebra of a local homomorphism. This is a short announcement of some of the results in the author’s thesis.

Nous continuons le développement de la catégorie deLusternik-Schnirelmann en algèbre commutative locale. En particulier, nous présentons une version du théorème de Félix-Halperin qui est valable pour toute caractéristique. Nous tirerons ensuite brièvement des conséquences sur le comportement de l’algèbre de Lie d’homotopie d’un homomorphisme local. Ceci constitue une courte annonce de certains des résultats contenus dans la thèse de l’auteur.

Keywords: Lusternik-Schnirelmann category, dg algebras, the homotopy Lie algebra

AMS Subject Classification: Syzygies and resolutions, Differential graded algebras and applications, Rational homotopy theory 13D02, 16E45, 55P62

PDF(click to download): Lusternik-Schnirelmann Category in Commutative Algebra and The Homotopy Lie Algebra

George A. Elliott,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Canada M5S 2E4; e-mail: elliott@math.toronto.edu

Dickson Wong,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Canada M5S 2E4; e-mail: dickson.wong@mail.utoronto.ca

Abstract/Résumé:

An elementary groupoid construction is shown to underlie Rieffel’s Hilbert module construction of a non-trivial projection in the irrational rotation C*-algebra.

Une construction élémentaire de groupoïde se révèle à la base de la construction de Rieffel à module de Hilbert d’un projecteur non-trivial dans la C*-algèbre d’une rotation irrationnelle.

Keywords: Irrational rotation algebra, Rieffel projection, groupoid construction

AMS Subject Classification: General theory of $C^*$-algebras, K-theory and operator algebras -including cyclic theory, Noncommutative topology 46L05, 46L80, 46L85

PDF(click to download): The Rieffel Projection Via Groupoids

Nishanth Gudapati,Department of Mathematics, Yale University, 10 Hillhouse Avenue, New Haven, CT-06511, USA; e-mail: nishanth.gudapati@yale.edu

Abstract/Résumé:

We prove that there exists a phase space of canonical variables, for the initial value problem for axially symmetric Maxwell fields with compactly supported initial data and propagating in Kerr-de Sitter black hole spacetimes, such that their motion is restricted to the level sets of a positive-definite Hamiltonian, despite the ergo-region.

On démontre qu’il existe un espace de phase de variables canoniques, pour le problème des valeurs initials pour les champs de Maxwell symétriques à donneés initiales de support compact et à propagation dans les espaces-temps de trou noir Kerr-de Sitter, tel que leur motion est restrainte aux ensembles de niveau d’une hamiltonienne de type positif, en dépit de l’ergo-région.

Keywords: Kerr-de Sitter Black Holes, Stability of Black Holes, Wave Maps

AMS Subject Classification: Conservation laws, Electromagnetic fields 35L65, 83C50

PDF(click to download): A Positive-Definite Energy Functional for Axially Symmetric Maxwell's Equations on Kerr-de Sitter Black Hole Spacetimes

Vandita Patel,Department of Mathematics, University of Toronto, Bahen Centre, 40 St. George St., Room 6290, Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4; e-mail: vandita@math.utoronto.ca

Abstract/Résumé:

We determine all perfect powers that can be written as the sum of at most 10 consecutive squares.

Nous déterminons toutes les puisances \(n\)-ièmes qui peuvent être écrits comme la somme d’au plus 10 carrés consécutifs.

Keywords: Exponential equation

AMS Subject Classification: Exponential equations 11D61

PDF(click to download): Perfect Powers that are Sums of Consecutive Squares

Alexander Brudnyi,Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Alberta, Canada
T2N 1N4; e-mail: abrudnyi@ucalgary.ca

Abstract/Résumé:

We present an alternate proof of the passage from the finiteness principle for metric trees to the construction of the core in the C. Fefferman and Shvartsman finiteness theorem for Lipschitz selection problems.

On présente une preuve alternative du passage du principe de la finitude pour les arbres métriques jusqu’à la construction du noyau dans le théorème de finitude de C. Fefferman et Shvartsman pour la sélection des problèmes Lipschitz.

Keywords: Lipschitz selection, length space, metric tree, regular covering

AMS Subject Classification: Sobolev spaces and other spaces of ``smooth'' functions; embedding theorems; trace theorems 46E35

PDF(click to download): A Note on the Lipschitz Selection

Ilia Binder,Department of Mathematics, University of Toronto, Bahen Centre, 40 St. George St., Toronto, Ontario, Canada M5S 2E4;
e-mail: ilia@math.toronto.edu

David Damanik,Department of Mathematics, Rice University, Houston, TX 77005, USA; e-mail: damanik@rice.edu

Milivoje Lukic,Department of Mathematics, Rice University, Houston, TX 77005, USA; e-mail: milivoje.lukic@rice.edu

Tom VandenBoom,Department of Mathematics, Rice University, Houston, TX 77005, USA; e-mail: tvandenboom@rice.edu

Abstract/Résumé:

We study an initial value problem for the Toda lattice with almost periodic initial data. We consider initial data for which the associated Jacobi operator is absolutely continuous and has a spectrum satisfying a Craig-type condition, and show the boundedness and almost periodicity in time and space of solutions.

On étudie un problème de Cauchy pour le système Toda avec des conditions initiales presque périodiques. On considère des conditions initiales pour lesquelles l’opérateur de Jacobi associé est absolument continu et a un spectre qui satisfait à une condition à la façon de Craig, afin de montrer que les solutions sont bornées et presque périodiques dans la variable spatiale aussi que temporelle.

Keywords: Toda lattice, almost periodic Jacobi operators

AMS Subject Classification: Almost periodic solutions, Completely integrable systems; integrability tests; bi-Hamiltonian structures; hierarchies (KdV; KP; Toda; etc.), Jacobi (tridiagonal) operators (matrices) and generalizations 35B15, 37K10, 47B36

PDF(click to download): Almost Periodicity in Time of Solutions of the Toda Lattice