On the Stiefel–Whitney Classes of GKM Manifolds

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 46 (2) 2024, pp. 16–40
(Received: 2024-01-18 , Revised: 2024-02-28)

Oliver Goertsches, Philipps-Universitat Marburg, Fachbereich 12 Mathematik und Informatik, Hans-Meerwein-Str. 6, 35043 Marburg; e-mail: goertsch@mathematik.uni-marburg.de

Panagiotis Konstantis , University of Cologne, Department of Mathematics and Computer Science, Division of Mathematics, Weyertal 86-90, 50931 Koln; e-mail: pako@math.uni-koeln.de

Leopold Zoller , Ludwig-Maximillians-Universitat Munchen, Mathematisches Institut, Theresienstr. 39, 80333 Munchen; e-mail: zoller@math.lmu.de

Abstract/Résumé:

We show that under standard assumptions on the isotropy groups of an integer GKM manifold, the equivariant Stiefel–Whitney classes of the action are determined by the GKM graph. This is achieved via a GKM-style description of the equivariant cohomology with coefficients in a finite field \(\mathbb{Z}_{p}\) even though in this setting the restriction map to the fixed point set is not necessarily injective. This closes a gap in our argument why the GKM graph of a 6-dimensional integer GKM manifold determines its nonequivariant diffeomorphism type. We introduce combinatorial Stiefel–Whitney classes of GKM graphs and use them to derive a nontrivial obstruction to realizability of GKM graphs in dimension 8 and higher.

Nous montrons que sous des hypothèses standard surles groupes d’isotropie d’une variété GKM entière, les classes de Stiefel–Whitney équivariantes de l’action sont déterminées par le grapheGKM. Ceci est réalisé par une description de style GKM de la cohomologie équivariante avec coefficients dans un corps fini \(\mathbb{Z}_{p}\), même si dans ce cadre l’application de restriction à l’ensemble des points fixes n’est pas nécessairement injective. Cela répare une erreur dans notre preuve du fait que le graphe GKM d’une variété GKM entière de dimension 6 détermine son type de difféomorphisme non équivariant. Nous introduisons des classes combinatoires de Stiefel–Whitney pour les graphes GKM et nous les utilisons pour dériver une obstruction non triviale à la réalisabilité des graphes GKM en dimension 8 et plus.

Keywords: (equivariant) Stiefel-Whitney classes, GKM theory, equivariant cohomology, realizability of GKM graphs

AMS Subject Classification: Equivariant homology and cohomology, Equivariant algebraic topology of manifolds 55N91, 57R91

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