Counting Toric Actions on Symplectic Four-Manifolds

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (1) 2015, pp. 33-40
(Received: 2014-09-15 , Revised: 2014-10-07)

Y. Karshon,Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, Ontario, Canada, M5S 3G3; e-mail: karshon@math.toronto.edu

L. Kessler,Department of Mathematics, Physics, and Computer Science, University of Haifa, at Oranim, Tivon 36006, Israel; e-mail: liatke.math@gmail.com

M. Pinsonnault,Department of Mathematics, Middlesex College The University of Western Ontario London, Ontario N6A 5B7 Canada; e-mail: mpinson@uwo.ca

Abstract/Résumé:

Given a symplectic manifold, we ask in how many different ways can a torus act on it. Classification theorems in equivariant symplectic geometry can sometimes tell that two Hamiltonian torus actions are inequivalent, but often they do not tell whether the underlying symplectic manifolds are (non-equivariantly) symplectomorphic. For two dimensional torus actions on closed symplectic four-manifolds, we reduce the counting question to combinatorics, by expressing the manifold as a symplectic blowup in a way that is compatible with all the torus actions simultaneously.

Nous nous intéressons aux différentes actions d’un tore sur une variété symplectique donnée. En géométrie symplectique équivariante, les théorèmes de classification permettent parfois de distinguer des actions hamiltoniennes de tores géométriquement inéquivalentes. Par contre, ces théorèmes ne permettent habituellement pas de déterminer si les variétés symplectiques sous-jaçentes sont symplectomorphes. Dans le cas des variétés symplectiques de dimension \(4\), nous réduisons le problème d’énumération des actions toriques inéquivalentes à un problème combinatoire en exprimant la variété considérée comme un éclatement symplectique qui est compatible simultanément avec toutes les actions toriques. Ce résultat est obtenu en employant des techniques pseudo-holomorphes.

Keywords:

AMS Subject Classification: Momentum maps; symplectic reduction 53D20

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