Compactifications of $\mathbb{C}^2$ via pencils of jets of curves

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (3) 2012, pp. 79–96
(Received: 2011-11-21 )

Pinaki Mondal, Department of Mathematics, University of Toronto, Toronto, ON M5S 2E4; e-mail: pinaki@math.toronto.edu

Abstract/Résumé:

This article is mainly an announcement of some of the results in the articles Primitive normal compactifications of the affine plane I and II where we study normal compactifications of the affine plane from the point of view of associated pencils of jets of curves and corresponding valuations on the field of rational functions. We find an explicit criterion to determine if a discrete valuation corresponds to a normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) which is primitive (i.e., the curve at infinity is irreducible). We show that a primitive normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) is projective iff it is algebraic iff the associated pencil of jets of curves has a representative which has only one place at infinity. As an application we compute the moduli space of primitive projective compactifications of \(\mathbb{C}^2\). We also characterize primitive normal compactifications of \(\mathbb{C}^2\) which are not algebraic.

Cet article est principalement une annonce de certains résultats dans les articles Primitive compactifications normales du plan affine I et II où l’on étudie les compactifications normales du plan affine du point de vue des pinceaux associés avec les jets de courbes et des valuations correspondant sur le corps des fonctions rationnelles. Nous trouvons un critère explicite pour déterminer si une valuation discrète corresponde à une compactification normale de \(\mathbb{C}^2\) qui est primitifs (i.e., la courbe à l’infini est irréductible). Nous montrons qu’une compactification normale primitive de \(\mathbb{C}^2\) est projectif si et seulement si elle est algébrique si et seulement si le pinceau associé de jets de courbes a un représentant qui n’a qu’un seul endroit à l’infini. Comme application nous calculons l’espace des modules des compactifications primitive projectif de \(\mathbb{C}^2\). Nous avons également caractérisé les primitives compactifications normal de \(\mathbb{C}^2\) qui ne sont pas algébriques.

Keywords: compactification of C2, discrete valuations, moduli space of compactifications of C2, non-algebraic analytic surfaces

AMS Subject Classification: Rational and ruled surfaces 14J26

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